確率の問題です

質問

図のように、平面上にA_0,A_1,A_2・・およびB_0,B_1,B_2・・が並んでいる。
点ＰはA_0から出発し、次の規則（※）に従いこれらの点の上を移動する。また、ＰがA_nへ到る行き方がa_n通り、B_nへ到る行き方がb_n通りあるとする。
（※）ＰがA_nにいるときには１秒後にA_n＋1またはB_nに、一方B_nにいるときにはB_n＋1またはA_nに移動する。ただし、前にいた点には戻らない。また、Ｐが移動しうる点が複数あるときには、それぞれの点へ等確率で移動する。
（１）a_3,b_3を求めよ。
（２）a_n,b_nを求めよ。
（３）一方、点ＱはA_8からＰと同時に出発し、１秒ごとに順次A_8→A_7→A_6→・・・→A_0と移動し、その後はA_0にとどまる。ＰとＱが出会う確率を求めよ。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

（１）
A_0B_0、A_1B_1、A_2B_2、A_3B_3の線を通るか通らないかを定めれば経路は確定する。
そのうち、偶数本通ればA_3に、奇数本通ればB_3に至る。
４本の線を通るか通らないか組み合わせは、2^4=16通り
偶奇の組み合わせの数は同じなので、
a_3=8
b_3=8

（２）
a_n=2^n
b_n=2^n

（３）
ＰとＱが出会うのは、４秒後のA_4か５秒後のA_3のときのみ。
点Ｐが４秒後にA_4に至る行き方は１通りで、確率は1/16
点Ｐが５秒後にA_3に至る行き方は６通り
そのうち、A_3B_3を通る行き方は３通りで、確率は1/16
A_3B_3を通らない行き方は３通りで、確率は1/8
ＰとＱが出会う確率は、
1/16+3/16+3/8=5/8