確立と漸化式

質問

漸化式に確立が絡んだ問題です。
「四面体OABCの頂点を移動する点Pがある。点Pは一つの頂点に達してから1秒後に、他の三つの頂点のいずれかに各々確率1/3で移動する。頂点Oにいた点Pがn秒後に頂点Aにいる確率をP_nとする。P_ｎを求めよ。」

漸化式が絡む以上、「P_(n+1)=k・P_n+f(n)」のような感じになると思うのですが、何を「P_(n+1)」とおけばよいのかを始め、やり方が分かりません。
どなたか、この問題の解き方の指針を教えてください。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

ｎ秒後にAにいるということは、ｎ－１秒後にO,B,Cのどれかにいて、次
にAに移動してくる場合。
ｎ－１秒後にO,B,Cにいる、すなわち、Aにいない確率は１－P(n-1)
これに、次にAに移動する確率1/3を掛けると、P(n)になる。
また、１秒後にAにいる確率はP(1)=1/3

回答No.2

masuda_takao

まず、注意したいことが一つ。
　「確立」ではなく「確率」。正しく書くように。

　では方針。
　n 秒後に動点Ｐが頂点Ａにいる“確率”が P_n なのだから、P_{n+1} は「n+1 秒後に動点Ｐが頂点Ａにいる“確率”」を表すのです。
　『何を「P_(n+1)」とおけばよいのか』の箇所がイマイチ意味不明ですが、「P_{n+1} を P_n を用いて表すとどうなるか？」の意味ならば、それがこの問の要の１つですから、苦手な方ならすぐ見出せなくても無理なしでしょう。

　n 秒後の時点でＰが点Ａにいるとき、n+1 秒後の時点でＰがＡに居ることは可能でしょうか？
　そのことを素直に考えてみて下さい。
　任意の時刻（k 秒後）において、ＰはＡにいるか、Ａにいないかのいずれかしかありません。その状態から次の時刻（k+1 秒後）に、Ｐはどうなるか？を考えるのです。
　これを利用すれば、漸化式を立てることは出来るはずです。

　既に解法の提示はあるようですが、指針をとのことなので指針を示してみました。