統計学

質問

N＝n1,n2,…nk ｋ項分布Mn(n:p1,p2,…pk)(n=n1+n2+n3…nk)に従うとき次のカイ自乗統軽量
X^2=Σ(（ni-n*pi)^2)/n*piの平均と分散を求めたいのですがこの場合は
モーメント母関数を使えばいいのでしょうか？？またこの場合、確率変数はnということでよろしいのでしょうか？？
さっぱりわかりません。どうか教えてください。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

まず、多項分布というのは、排反な事象A1,…,Akがあり、一回の試行
でA1が起こる確率をp1、…、Akが起こる確率をpkとするとき、n回この
試行を独立に繰り返すときのA1,…,Akの起こる回数の分布です。
（多変量分布）
A1の起こる回数を確率変数X1、…、Akの起こる回数を確率変数Xkとすれ
ば、P(X1=n1,…,Xk=nk)=n!/n1!…nk!・p1^n1…pk^nk（n1+…+nk=n）
（組み合わせを考えてみてください。）
N=(X1,…,Xk)がパラメータn:p1,…,pkの多項分布に従うというような
言い方になります。いわば、Nは確率変数のベクトルのようなもので、
多変量の確率変数です。
すると、P(N=(n1,…,nk))=P(X1=n1,…,Xk=nk)という表現になりますか。
問題の統計量の平均分散は正確に求めるのはなかなか難しいというか、
できるのかどうかわかりませんが、n,n1,…,nkが相当に大きいとき
は、近似的に自由度k-1のカイ２乗分布に従うということが分かってい
ます。（n1+…+nk=nというしばりがあるので、自由に動けるのはk-1個
の変数だということから、何となくわかると思います。）
また、この統計量は、
P(X1=n1,…,Xk=nk)=n!/n1!…nk!・p1^n1…pk^nk
において、n!,n1!,…,nk!をスターリングの公式で近似して整理すると
でてくるものです。
これは乱数に偏りがないかを見るときなどに使われるカイ２乗検定です
が、実験回数のnを大きくして、カイ２乗分布で近似するということを
します。