確率

質問

１回の試行で正八面体の１つの頂点から辺でつながる4つの頂点のどれかへ等確立で移動する動点がある。
今頂点Ａにある動点が5回の試行の結果Ａに戻ってくる確率の求めかたがさっぱりわかりまりません。
どうやって解くのでしょうか？

点Aから一番遠い頂点を点B、残りの4点を「隣点」とすると
どのように考えるのですか？

回答No.4

zk43

普通に考えて、どの頂点も十字路になっているので、行き先が
４パターンのうちどれかを考えているだけです。
Rはちゃんと書くなら、R1,R2,R3,R4みたいに書くのでしょうが、
別に区別する必要もないので、集合みたいにRと書いています。
R={R1,R2,R3,R4}みたいな感じでしょうか。
A→R1,A→R2,A→R3,A→R4の確率はどれも1/4なので、A→Rの確率は
これらを全部足して1です。
Rの中のどれかにいるときは両隣の隣点に行くか（R内での移動）、
AかBに行くかなので、R→Rの確率は2/4などです。

隣点を全部軸AB上に投射して一点にして、この点にいるとき、１回の
試行で留まる確率が1/2、Aに行く確率が1/4、Bに行く確率が1/4と
考えても同じことだと思います。

補足

R→Rの確率は2/4
について、R={R1,R2,R3,R4}内で移動するということですか？

R→Bの確率は1/4
について、どの頂点も十字路になっているので例えばR1を中心としてみると4パターンでR1→Bは1/4でR2,R3,R4とあるのでそれぞれ足さなくてもいいのですか？

回答No.3

zk43

隣点をRと呼びます。
Aから出発して５回でAに帰ってくる経路を考えると、
(1)A→R→R→R→R→A
(2)A→R→B→R→R→A
(3)A→R→R→B→R→A
の３パターンでしょうか。
（１回目と４回目は必ずRであり、３回目と４回目がR、Bどちらかの
可能性がある。ただし、どちらもBの可能性はない）
ただし、途中でAは通らないとしています。
A→Rの確率は1
R→Rの確率は2/4
R→Bの確率は1/4
B→Rの確率は1
R→Aの確率は1/4
なので、たとえば(1)の確率は、
1*(2/4)*(2/4)*(2/4)*(1/4)=1/32
(2)(3)も同じように計算できて、全部足せば良いと思います。
どの頂点からも辺が４本生えていて、どの辺を通って動くかは
等確率なので、上の確率はわかると思うのですが・・・
AからはRに向かうしかないのでA→Rの確率は1、RからはAに向かう1本
の辺と、Rに向かう2本の辺と、Bに向かう辺が1本あるので、R→Aの確率
は1/4等・・・

補足

A→Rの確率は1
R→Rの確率は2/4
R→Bの確率は1/4
B→Rの確率は1
R→Aの確率は1/4
について教えてください。

A→Rの確率は点ＡからＲに向けて4つの線が集まっています,これは1本1本考えずまとめて１つと考えるのですか？

R→Rの確率は2/4はどのようにして考えるのですか？

R→Bの確率は1/4４つの辺がＢにあわされているので1/4？

回答No.2

Quattro99

> 1回の試行により動点が
> (点Aにある確率)=0、(隣点にある確率)=1、(点Bにある確率)=0
最初にAにあった動点が1回移動すると移動先の4点はすべて隣点ですから、そういう確率になります。

> 2回では
> (点Aにある確率)=1/4、(隣点にある確率)=1/2、(点Bにある確率)=1/4
2回で点Aにくるのは前の回（1回）で隣点にいた場合だけです。前の回で隣点にある確率は1で、隣点から点Aに来る確率は1/4ですから、2回目で点Aに来る確率は1*(1/4)=1/4です。
2回で隣点にくるのは、前の回に点Aにいた場合（確率は0*1=0）、前の回に隣点にいた場合（確率は1*(2/4)=1/2）、前の回に点Bにいた場合（確率は0*1=0）で、確率は合計して1/2です。
2回で点Bにくるのは、前の回で隣点にいた場合だけで、その確率は1*(1/4)=1/4です。

3回目以降も、
点Aに来る確率は、(前の回に隣点にいる確率)*(1/4)。
隣点に来る確率は、(前の回に点Aにいる確率)*1 ＋ (前の回に隣点にいる確率)*(2/4) ＋ (前の回に点Bにいる確率)*1。
点Bに来る確率は、(前の回に隣点にいる確率)*(1/4)。
となります。

回答No.1

Willyt

正八面体の頂点の数は６つです。これにそれぞれの番号を割り振ります。１と６は隣同士ではないところに振り当て、残りの２～５は残りにグルリと自由に振り当てます。
各番号の次へ移るとき隣接する頂点は４つですね。これで５つの移り方のうちの一つは１－２ー３ー４ー５です。１－２－１－２－１でもいいわけです。その場合の数Ｎ１を効率よく数える方法を考えます。
　次に元へ戻る場合の一つの例は１－２ー３－４ー１ですね。一つ前に６が来ていては元に戻れないということに注意して場合の数Ｎ２を効率よく数えます。そうすると元へ戻る確率はＮ２/Ｎ１です。
　後は自分で考えて下さい。

補足

1回の試行により動点が
(点Aにある確率)=0、(隣点にある確率)=1、(点Bにある確率)=0
となることが分かりません。
2回では
(点Aにある確率)=1/4、(隣点にある確率)=1/2、(点Bにある確率)=1/4
となることがわかりません。

3回では
(点Aにある確率)=(1/2)×(1/4)=1/8
(隣点にある確率)=(1/4)+(1/4)+(1/2)×(1/2)=3/4
(点Bにある確率)=(1/2)×(1/4)=1/8
となることが分かりませんの教えてください。