因数定理の問題で

質問

いくつか、解き方が分からないものがあります

★xの整式４x^3－２x^2－９x＋７を、xの整式Ａで割ると
商はＢで余りがｘ＋１となる。またＡとＢの和は２x^2＋４xー５である。
この時、ＡとＢを求めよ。
(答え　Ａ；２x^2－２x－２、Ｂ；２x－３)

★
x^3＋４x^2＋７x＋５をx^2＋x＋２でわった余りは２xー１である。
(x^3＋４x^2＋７x＋５)＾3をx^2＋x＋２で割った余りを求めよ
(答え：10x＋39)

★整式Ａ(x)を、ｘ＋１で割ると、余り９
(ｘ－１)(ｘ－２)で割ると商B(ｘ)、余り８ｘ－１になる。
B(ｘ)をｘ＋１で割った時の余りを求めよ
(答え：3)

★整式Ａ(x)を(ｘ＋１)＾2で割った時の余りは９
(ｘ-１)＾2で割った時の余りは１である。
整式Ａ(x)を、(ｘ＋１)＾2(ｘ-１)＾2で割った時の余りを求めよ。
(答え：２x^3－６x＋５)

最後の問題は、余りをａx^3＋ｂx^2＋ｃx＋ｄとおいて
(ｘ＋１)＾3(ｘ-１)で割ると考え
Ａ(1)＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１
ａx^3＋ｂx^2＋ｃx＋ｄを(ｘ＋１)＾3で割ったときの余り＝９
と考えて出すとおもったのでが上手くいきません、、、

どなたか、これらの解き方を教えてください！

回答No.3

nettiw · ベストアンサー

Ｑ１
A(x)+B(x)=2x^2+4x-5
　4x^3-2x^2-9x+7=A(x)・B(x)+(x+1)
　4x^3-2x^2-10x+6=A(x)・B(x)
　2(2x^3-x^2-5x+3)=A(x)・B(x)
P(x)/2=2x^3-x^2-5x+3　と置いて、
候補は±(3の約数)/(2の約数)で、±1,±3,±1/2,±3/2
P(3/2)=(27/4)-(9/4)-(30/4)+(12/3)=0
2,,-1,,-5,,3,,,|3/2
,,,,,,3,,,,3,,3
2,,,,2,,,-2|0
P(x)=2(x-(3/2))(2x^2+2x-2)=2(2x-3)(x^2+x-1)
余りが一次式なんで、割る式Aは二次式。
A(x)=(x^2+x-1),,,B(x)=(4x-6) 不適。
A(x)=(2x^2+2x-2)...B(x)=(2x-3)　適する。
　　　　　　　--------------------------
A(x)B(x)=4x^3-2x^2-10x+6
>>かけて最高次数が３、たして最高次数が２なので、
>>一方は２次式、他方は１次式です。(?)
上記の理由で、A(x)が２次式、B(x)が１次式です。
A(x)=(2x^2+ax+b)
A(x)+B(x)=2x^2+4x-5
B(x)=(4-a)x+(-5-b)
(2x^2+ax+b)[(4-a)x+(-5-b)]=4x^3-2x^2-10x+6
(4-a)=2,,a=2
b(-5-b)=6,,,-5b-b^2=6,,,0=b^2+5b+6,,,(b+2)(b+3)=0,,,b=-2,,-3
b=-2,,,A(x)=(2x^2+2x-2),,,B(x)=2x-3 適する。
b=-3,,,A(x)=(2x^2+2x-3),,,B(x)=2x-2 因数定理により不適。
-----------------------------------
Ｑ２
(x^3+4x^2+7x+5)=Q(x)・(x^2+x+2)+(2x-1)
(x^3+4x^2+7x+5)^3=P(x)・(x^2+x+2)+Ax+B
[Q(x)(x^2+x+2)+(2x-1)]^3=P(x)・(x^2+x+2)+Ax+B

Q(x)(x^2+x+2)=C、(2x-1)=D　と置いて、
[C+D]^3=[(C^3)+3(C^2)D+3C(D^2)+(D^3)]
　　　　　=[(C^3)+3(C^2)D+3C(D^2)]+(D^3)

[(C^3)+3(C^2)D+3C(D^2)]は(x^2+x+2)で割り切れるから、
(D^3)=(2x-1)^3=8(x^3)-12(x^2)+6x-1 を(x^2+x+2)で割ればいいです。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,8,,,-20
1,,1,,2,,||,,8,,-12,,,,,,,6,,-1
,,,,,,,,,,,,,,,,,,8,,,,,8,,,,,,16
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-20,,-10,,,-1
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-20,,-20,,,-40
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,10,,,39 -------->剰余（余り）は、10x+39
-----------------------------------
Ｑ３
　A(x)=(x+1)・Q(x)+9、A(-1)=9
　A(x)=(x-1)(x-2)・B(x)+(8x-1)
　A(-1)=6・B(-1)-9=9　-------> B(-1)=3
ということは、B(x)を(x+1)で割った剰余は3。
-----------------------------------
Ｑ４
A(x)=[(x+1)＾2]・B(x)+9、A(-1)=9
A(x)=[(x-1)＾2]・C(x)+1、A(1)=1
A(x)=[(x+1)＾2][(x-1)＾2]・D(x)+ax^3+bx^2+cx+d　と置いて、
A(-1)=-a+b-c+d=9、A(1)=a+b+c+d=1
　　　2b+2d=10,,,b+d=5 -----> d=(5-b)
　　　2a+2c=-8,,,a+c=-4 ------>c=(-4-a)
　　　を代入して、文字を減らします。
　　　ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+bx^2+(-4-a)x+(5-b)

A(x)=[(x+1)＾2][(x-1)＾2]・D(x)+ax^3+bx^2+(-4-a)x+(5-b)
強引に[(x+1)＾2]で割ります。[(x+1)＾2][(x-1)＾2]・D(x)は、割り切れるから、
剰余の部分を割ります。

,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,,,,(b-2a)
1,,2,,1||,,,,a,,,,b,,,,,,,,,,(-4-a),,,,,,,,,,,,,(5-b)
,,,,,,,,,,,,,,,,,a,,,,,2a,,,,,,,,,,,,,,,a
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(b-2a),,,(-4-2a),,,,,,,,,(5-b)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(b-2a),,,,(2b-4a),,,,,,,,(b-2a)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-4+2a-2b,,,,5-2b+2a

このとき、[(x+1)＾2]で割った余りが、０ｘ＋９だから、
-4+2a-2b=0,,,,-2+a-b=0 -----> b=a-2
,,5-2b+2a=9 ------------------->b=a-2

b=a-2 を代入して、文字を減らして、今度は[(x-1)＾2]で割ります。
A(x)=[(x+1)＾2][(x-1)＾2]・D(x)+ax^3+(a-2)x^2+(-4-a)x+(-a+7)

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,,,,,,,,,,,3a-2
1,,,-2,,,1,,||,,,,,a,,,,,,,,,,(a-2),,,,,,,,,,(-4-a),,,,,,,,,,,(-a+7)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,,,,,,,,,,,,,-2a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3a-2,,,,,,,,,,,-4-2a,,,,,,,,,,,-a+7
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3a-2,,,,,,,,,,-6a+4,,,,,,,,,,,3a-2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-8+4a,,,,,,,,,,,,-4a+9
-8+4a=0 ------>a=2
-4a+9=1 ------>a=2

剰余は、2x^3-6x+5　と出てきます。
微分を使っていいなら、その方がいいかもしれません。

お礼

凄く丁寧に、ありがとうございます！
とても分かりやすいです

回答No.2

debut

最初
AB+x+1=4x^3-2x^2-9x+7
かけて最高次数が３、たして最高次数が２なので一方は２次式、
他方は１次式です。
A=2x^2+ax+bとすれば、B=(4-a)x-(b+5)と表せます。
答えのＡは2x^2+2x-2じゃないですか。

２番目
x^3＋4x^2＋7x＋5=(x+3)(x^2＋x＋2)+2x-1だから
(x^3＋4x^2＋7x＋5)^3で右辺も３乗の展開をすると考えれば、
因数(x^2＋x＋2)を含まない項は(2x-1)^3だけです。
よって、(2x-1)^3を(x^2+x+2)で割るだけでいいですね。

３番目
A(x)=(x-1)(x-2)B(x)+8x-1とおけて、A(-1)=9だから、ｘに－１
を代入すればB(-1)の値が出ます。

最後は
A(x)=(x+1)^2(x-1)^2B(x)+(ax+b)(x+1)^2+9
A(x)=(x+1)^2(x-1)^2B(x)+(cx+d)(x-1)^2+1
とおいて、(ax+b)(x+1)^2+9と(cx+d)(x-1)^2+1の係数を比較すれば
求められると思います。

お礼

わかりやすい解き方、ありがとうございます！

回答No.1

takas223

こんにちは。
　すべてにおいて共通なのは、xに惑わされない事。
　この場合は、xはいわゆる定数に過ぎない。
　例えば、初期条件を見るとAとBについてxを用いた式が作れるよね？
　そしてxは定数としてAとBについての初期条件からの2つの条件の方程式を作ってどちらかを消去する。
　一方の方の答えが判明するのでもう一方も出てきます。

お礼

不慣れなので、結構惑わされてますね～
ありがとうございました