数２の問題（複素数と方程式の範囲）を教えてください。

質問

数２の問題（複素数と方程式の範囲）を教えてください。

整式h(x)をx+2で割ると余りは2であり、h(x)をx^2-2x+4で割ると余りは4x-2である。h(x)をx^3+8で割ったときの余りを求めよ。

という問題です。

h(x)をx^3+8で割ったときの商をr(x)、余りをax^2+bx+cとおくと
　h(x)=(x^3+8)
　　　=(x+2)(x^2-2x+4)r(x)+
と表せて、h(x)をx+2で割ったときの余りが2であるから、
　h(-2)=2⇔ax^2+bx+c=2

というところまではやってみましたが、
ここからどうすればよいかわかりません。

解法と解説をよろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

「h(-2)=2⇔ax^2+bx+c=2」がおかしいことには気づいてますか?
さておき, 「h(x) を x^2-2x+4 で割った余り」と「ax^2+bx+c を x^2-2x+4 で割った余り」が等しくなければならない.

お礼

＞「h(-2)=2⇔ax^2+bx+c=2」

h(-2)=2⇔4a-2b+c=2

でした（汗）重ね重ね失礼しました。

教えていただいたやり方で一応答えは出ました。

上の私の解答の続きは、

h(x) を x^2-2x+4 で割った余りと
ax^2+bx+c を x^2-2x+4 で割った余りは等しくならなければならない。

　(ax^2+bx+c)/(x^2-2x+4)=(b+2a)x+(c-4a)=4x-2
よって
　b+2a=4
　c-4a=-2
と
　4a-2b+c=2
を連立させて解くと　
　a=1,b=2,c=2
したがって求める余りは
　x^2+2x+2　(答)

となりました。
これで解答として大丈夫でしょうか？

回答No.4

Tacosan

答えはいいけど, 途中の
「(ax^2+bx+c)/(x^2-2x+4)=(b+2a)x+(c-4a)=4x-2」
はダメ. もっと気を付けないと.
ここは前の分と合わせて
h(x) = (x+2)(x^2-2x+4)r(x) + (ax^2+bx+c)
=(x^2-2x+4)[(x+2)r(x) + a] + [(b+2a)x+(c-4a)]
と書いてやるのがより安全.

お礼

なるほど。
そのように書くものなのですね。
添削どうもありがとうございます！
また、よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

#1 と同案というか, それを使わないとお話にならない.
あと, 式はちゃんと書いてくださいね. このままだと「まともな解答」としては認めてもらえませんよ.

お礼

ありがとうございます。

＞h(x)=(x^3+8)
　　　=(x+2)(x^2-2x+4)r(x)+
と表せて、h(x)をx+2で割ったときの余りが2であるから、
　h(-2)=2⇔ax^2+bx+c=2

の途中、ax^2+bx+cをコピペしたつもりが切り取ってしまっていました。
どうも失礼しました（笑）
解答欄には、抜かさずに記入します。

＞#1 と同案というか, それを使わないとお話にならない

そう思ったのですが
その使い方で悩んでしまったのでこちらに質問したのです。
模範的な解答の作り方を教えてください。

回答No.1

koko_u_u

>ここからどうすればよいかわかりません。

当然、次は「h(x)をx^2-2x+4で割ると余りは4x-2である」を使いましょう。

お礼

ありがとうございます。
そのように思ったのですが、それをどのように使えばよいかわからないので
こちらに質問してみました。
よろしければどのように使うかご教授ください。