命題と証明

質問

すいません、質問です。

「２つの正方形が合同ならば、その面積は等しい」
について、逆を述べるんですが、
「２つの正方形の面積が等しければ、それは合同である」と問題集に書いてありました。
自分的には、
「面積が等しければ、２つの正方形は合同である」でいけると思ったんですが、なぜこちらはいけないんでしょうか？

困っています、よろしくお願いします

回答No.8

stomachman · ベストアンサー

[1] 命題Hが「PならばQ」（ただしP, Qは命題）という形をしている場合に限って、「QならばP」という命題がHの逆です。

で、命題Hが

H: 「ふたつの正方形(A, B)についてそれら(AとB)が合同であるならば、それらの面積(Aの面積とBの面積)は等しい」

のときには、Hを文字列として眺めてみれば

P: 「ふたつの正方形(A, B)についてそれら(AとB)が合同である」
Q:「それらの面積(Aの面積とBの面積)は等しい」

とやれば「PならばQ」の格好をしている。つまり、Hの逆は

F: 「それらの面積(Aの面積とBの面積)が等しいならば、ふたつの正方形(A, B)についてそれら(AとB)は合同である」

でいいじゃん…と、これがご質問の意図でしょうか？

[2] でも、命題Hは
H: 「ふたつの正方形(A, B)について【それら(AとB)が合同であるならば、それらの面積(Aの面積とBの面積)は等しい】」
と解釈されねばなりません。すなわち、「ふたつの正方形(A, B)について」の部分が【　】内全体に掛かるのです。「正方形A」は【　】の中に2回出て来るけれども、それらは同一の正方形を指す。「正方形B」についても同様です。そう考えないと、意味が通じません。
　すると、これを

P: 「ふたつの正方形(A, B)について【それら(AとB)が合同である」
Q:「それらの面積(Aの面積とBの面積)は等しい】」

と分けるのは駄目。なぜなら、正方形Aは【　】の中に2回（PとQに1回ずつ）出て来るけれども、それらは同一の正方形を指すかどうか分からなくなっちゃうからです。あるいは、【　】がペアになっていないから駄目、と考えても良いですし、Qの「それらの面積(Aの面積とBの面積)」が何の面積であるのか不明であるからQは命題じゃない([1]を再読ください。）と考えても良いでしょう。いずれにせよ、この分け方は駄目です。

　　この駄目な分け方を採用して構成したダメ答案は

F: 「それらの面積(Aの面積とBの面積)が等しい】ならば、ふたつの正方形(A, B)について【それら(AとB)は合同である」

となります。再度確認すると、【　】を分断したために、前件「それらの面積(Aの面積とBの面積)面積が等しいならば」の「面積」が一体何の面積であるかが指定されていない。なので、この答案Fはそもそも命題になっていない。(ANo.3でご指摘の通り)。

　ところで（見えない）括弧【　】がどこに付くかについては、命題が（記号を使った形式論理で書けば曖昧さが全然ないんですけれども、）自然言語（日本語、英語など）で書いてある場合、字面だけ眺めても分からない。意味をよく考えないと分かりません。ここんとこがポイント。上記のように( )内の言葉を加えてみると良いでしょう。

[3] さて、Hは「PならばQ」（P, Qは命題）という形をしていないから、命題Hの逆というものは元々存在しません。すなわち、この問題の正解は

逆はない

です。

　でもまあ百万歩譲って問題の意図を推測してやることにしましょう。（そうしないと、こういう不注意な出題をする奴がトチ狂って×を付けるおそれがあるからです。）すると、【　】内の部分だけ見ると「PならばQ」（PとQは命題）という形をしている。だからこの部分だけについてならば逆が存在して

【それらの面積(Aの面積とBの面積)が等しいならば、それら(AとB)は合同である】

である。これを使って

命題G: 「ふたつの正方形(A, B)について【それらの面積(Aの面積とBの面積)が等しいならば、それら(AとB)は合同である】」

を作ることはできる。GはHの逆ではないけれども、ま、この（できそこないの）問題が期待している答はGであろう。（ANo.2, ANo.3, ANo.6はこの解釈を採っています。)要するに問題が悪いんです。

　なのでカンペキ答案は

逆はない。
ところで、全くの余談であるが、
「２つの正方形が合同ならば、その面積は等しい」
とは
「２つの正方形について、それらが合同ならば、それらの面積は等しい」
という意味であり、その一部分である
「それらが合同ならば、それらの面積は等しい」
ならば逆が構成でき、
「それらの面積が等しいならば、それらは合同である」
となる。これを使って、
「２つの正方形について、それらの面積が等しいならば、それらは合同である」
すなわち
「２つの正方形の面積が等しいならば、それは合同である」
という命題を構成する事はできる。

といったところでしょうか。

[4] ところで、普通は、Fを見たら（命題になっていないから修正して）Gの意味だと解釈するでしょう。(ANo.3の末尾およびANo.6後半で言及されている。ANo.4がこの解釈を採っている)。ですがこのご質問に於いては、質問者はFはGとは別物として区別した上で質問なさっている。（なので上記[2]がご質問に対する回答の本体です。）
　さて、問題が悪いというんなら、まともな出題はどうあるべきだったかというと、

ふたつの正方形A, Bに関する次の命題の逆を求む：
「AとBが合同であるならば、Aの面積とBの面積は等しい」

です。これならなんにも悩む必要はない。

回答No.7

Ishiwara

「面積が等しければ、‥」も、通常の日本語としては立派に通用します。しかし、数学や論理学では避けるべきです。さらに拡張すれば、科学技術一般において避けるべきです。私が採点者なら、多少減点します。

なぜならば「前半」を見ただけで、その状況が把握できないからです。「正方形」という語を前半におくべきです。

回答No.6

arrysthmia

皆さん書いておられるように、
「２つの正方形が合同ならば、その(２つの正方形の)面積は等しい」
の逆は、
「２つの正方形の面積が等しければ、それ(ら２つの正方形)は合同である」
ですね。

日本語に十分慣れていれば、
「面積が等しければ、２つの正方形は合同である」
でも意味は後者と同じだと分かるのですが、

この例題が、言葉遊びのルールを知っているかどうか問う問題であること
を考えると、その省略のしかたは、ちょっと文学的過ぎる気がします。

最悪の場合、命題の逆とは何であるかを知らずに、言葉の順番を逆にしただけ
と解釈される恐れがありますから、答案には書かないほうが無難でしょう。

回答No.5

noname#56760

文ですから主語・目的語・動詞は書いたほうがいいですよ。
英語なら書いてくれますが、日本語の場合省略されるので補う必要があります。
[ＳＯＶ]⇒[ＳＯＶ]
「２つの正方形が合同ならば、その面積は等しい」
は詳しく書くと
[２つの正方形が合同である]⇒[２つの正方形の面積は等しい]
です
これを逆にして
[２つの正方形の面積は等しい]⇒[２つの正方形が合同である]
文にすると
「２つの正方形の面積が等しければ、２つの正方形は合同である」
「２つの正方形の面積が等しければ、それらは合同である」

回答No.4

jmh

> なぜこちらはいけないんでしょうか？

「面積が等しければ、２つの正方形は合同である」と「２つの正方形の面積が等しければ、それらは合同である」とは同じ意味ですよね？

違うの？

回答No.3

ken-etsu

「２つの正方形が合同ならば、その面積は等しい」というのは、
1. 以下は、二つの正方形AおよびBについて述べます。
2. 前件: AおよびBの面積は等しい。
3. 後件: AおよびBは合同。
ということを述べているわけです。

この逆を述べるには、2と3の順序を逆にすればいいので、問題集の通りとなります。
あなたの言い方だと1の前に3を述べているのですが、それだとAおよびBが何を指しているのかが判りません。
まあ、最後まで読めば判るからいいのですが、読み手のことを考えれば、逆にした場合も、1を先に述べるべき、ということですね。

回答No.2

kumipapa

「２つの正方形が合同ならば、その面積は等しい」
の逆は、
２つの正方形があるとき、
それらの面積が等しい　⇒　それらは合同である

２つの正方形が合同　⇒　２つの正方形の面積が等しい
の逆は
２つの正方形の面積が等しい　⇒　２つの正方形が合同

「２つの正方形が合同ならば、その面積は等しい」
の逆を考えるとき、「その面積は～」の「その」というところをきちんと記述しないと駄目ですよね。何か言葉遊びみたいな感じですけど。
「その」っていうのは、２つの正方形のことなので、
「２つの正方形の面積が等しいならば、それらは合同」

回答No.1

AKUMA00

＞「面積が等しければ、２つの正方形は合同である」でいけると思ったんですが、なぜこちらはいけないんでしょうか？

「面積が等しい＝２つとも正方形」ということはあり得ませんよね？
「面積が等しい」という条件なら、正方形だけでなくとも平行四辺形や台形、ひし形も含みます。
これでは「２つとも正方形」とは言い難いですよ。

下手な説明文ですみません。