数学として教えてください

質問

再質問になりますがよろしくお願いいたします。
数年前の私立中学の入試問題からの質問です。
１辺が１０cmの正方形があります。
正方形の各々の角を中心に半径１０cmの４分の１円を正方形の内部に描くと正方形の中に　弧で描かれた四角形が１個、三角形が四個、銀杏の葉形もの4個に分けられます。
その中心部の　四角形の面積の求め方を小学生もできる程度のの　＋、－、×、÷　の計算だけで教えてください。
円の面積、球の体積、1を３で割る、この程度の無理数はよいとして、よろしくお願いいたします。

回答No.14

nabeyann · ベストアンサー

#12さんのご指摘の通り間違っていました。
そこで、切り口を替えて、
円弧の長さを与えられた図形を、正方形、正三角形にした場合、
大正方形の角の一つに三角の頂点を固定すると、斜線(軸線）との、接点がズレマスよね。
元の形から正方形に変化した高さの短くなる長さを　a　と置く
元の形から正三角形に変化した高さの短くなる長さを　b　と置く
　　a＋πｒ/6＋正三角の高さ＋b＝ｒ
　　x＝（a＋b）÷πｒ/6　
　　X＝（b＋a＋b）÷πｒ/6　
基点より近い方から、接点は
　接点1・・・正三角形の高さ
　接点2・・・(1-x)r　 　　接点3・・・(√2-X)r　　と表わす
※　　　√3を使えば、
　　接点1/ｒ　＝π/6×√3÷2 ≒0.453
(1-x)r－πｒ/6＝πｒ/6×√3÷2
　(1-x)r=πｒ/6+πｒ/6×√3÷2
(1-x) =π/6(1+1/2√3)
(1-x) ≒ 0.977
(√2-X)r＝πｒ/6×√3÷2＋πｒ/6+πｒ/6×√3÷2
(√2-X)=π/6(1+√3)
(√2-X)≒1.43
　　　0.453： 0.977：1.43

※ √3を使いたくない場合、

斜線の長さ＝r√2

(1-x)r+正三角形の高さ ＝(√2-X)r・・・(1)
(1-x)r－πｒ/6（辺の長さ）＝正 三角形の高さ・・・(2)
(√2-X)r－正三角形の高さ－πｒ/6（辺の長さ）＝ 正三角形の高さ・・・(3)
(3)を整理すると　　
　正三角形の高さ＝｛(√2-X)r－πｒ/6（辺の長さ)}/2
　　　　　　　＝(1.476－2x－0.524)ｒ/2
　　　　　　＝(0.476－x)ｒ
(1)　を整理すると　　　　　　　　　
　正三角形の高さ＝(1.476－2x)r－(1-x)r
　　　　　　　　≒　(1-x)r－0.524ｒ
(2)を整理すると
　正三角形の高さ＝(1-x)r－πｒ/6（辺の長さ）
　　　　　　　　　＝(1-x)r－0.524ｒ
　　　　　　　　≒(0.476-x)r　
(1)(2)より、
　　2(1-x)r－πｒ/6（辺の長さ）＝(√2-X)r
(1-x)r＝｛(√2-X)r＋πｒ/6（辺の長さ)}/2
　　　　(1-x)＝｛(√2-X)＋π/6}/2
　　　　(1-x)－(√2-X)/2＝π/12≒　0.262　・・・(4)

(√2-X)＝(1-x)2－π/6＝1.476－2x

　　X＝√2-1－π/6+2x　
X＝√2－1.476+2x ≒ 2x－0.0617　　　
　X－2x＝0.0617
　　　X－x＝x－0.0617
・a＋πｒ/6＋正三角の高さ＋b＝ｒ
　・x＝（a＋b）÷πｒ/6　
　　・X＝（b＋a＋b）÷πｒ/6より
X－2x＝0.0617＝a÷πｒ/6　
　　　　　6a/πｒ＝0.0617
　　　　　a/ｒ＝0.0323
　x＝0.0617+b÷πｒ/6
X－x＝x－0.0617＝b÷πｒ/6
b/ｒ＝（x－0.061)*6/π　　　　　　　　　

・a＋πｒ/6＋正三角の高さ＋b＝ｒ、(2)より
　a＋πｒ/6　＋(1-x)r－πｒ/6＋b＝ｒ・・・(5)
　0.0617*6/π＋π/6　＋(1-x)－π/6＋（x－0.0617)*6/π＝1　　　
0.0617*6/π＋(1-x)＋（x－0.0617)*6/π＝1
　　(1-x)　－6x/π　＝1　　
　　(1－6/π)ｘ＝0　　　　　　　　　　
　∴ｘ＝0 ,X=－0.0617　　　
　　（1-x) ≒1
(√2-X)＝1.475
　でも、この値は正しくありません。なぜなら、b　の中に1/2√3が隠れているからです。
　　　r－a－πｒ/6－ｂ＝正三角の高さ
　　　　　　ｂ＝r－a－πｒ/6－正三角の高さ
　　　　　ｂ＝r－a－πｒ/6－πｒ/6×√3÷2
　　　　ｂ＝r－a－πｒ/6－(1－√3÷2）πｒ/6
　これを、(5)に代入
a＋πｒ/6　＋(1-x)r－πｒ/6＋r－a－πｒ/6－(1－1/2√3）πｒ/6＝ｒ
(1-x)r＋r－(1－1/2√3）πｒ/6＝ｒ
(1-x)＝(1－1/2√3）π/6
　　　　　≒ 0.977
√3の計算をしないで、　正三角の高さに、(1)～(3)の値のいずれかを入れると、堂々巡りに陥ります。
ｂ≒πｒ/6×√3÷2とすると、√3の計算をしなくてすみますが、
0.0617π/6＋(1-x)＋（x－0.0617)π/6*1/2√3＝1
0.0617π/6(1-1/2√3)-(1-1/2√3)x=0
∴ｘ＝0.0617π/6＝0.0323
（1-x) ≒0.967

　　正方形＝（２πｒ/12)^2
　正三角＝(0.967－２π/12)(２πｒ/12)ｒ/2
正三角/正方形 ＝{(1-x)r－２πｒ/12}(２πｒ/12)ｒ/2÷(２πｒ/12)^2
＝(0.967－２π/12)(２πｒ/12)ｒ/2÷(２πｒ/12)^2
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝(0.967－２π/12)÷2(２π/12)
≒0.4434÷2(２π/12) ≒0.4234
近似値としては、だいぶ近づきますが、やはり√3の計算をしないと。

(1-x) ≒ 0.977　の時・・・

　正三角＝(0.977－２π/12)(２πｒ/12)ｒ/2
　　正方形＝（２πｒ/12)^2
正三角/正方形 ＝{(1-x)r－２πｒ/12}(２πｒ/12)ｒ/2÷(２πｒ/12)^2

　　　　　　　＝(0.977－２π/12)(２πｒ/12)ｒ/2÷(２πｒ/12)^2
＝(0.977－２π/12)÷2(２π/12)
≒0.433

√3を使った計算
正三角/正方形 ＝{２π/12(+1/2√3)(２π/12)}/2(２π/12)^2
＝1/4√3 ≒0.433

(1-x) ≒ 0.977　の時
一般計算式として
辺の長さ＝πｒ/6　のとき
　正三角≒(0.977－π/6)(πｒ/6)ｒ/2
ｒ＝6/π×辺の長さと表せば
　　↓　正三角≒(0.977－π/6)×3/π×辺の長さ×辺の長さ
　　↓
正三角≒0.866÷2×辺の長さ×辺の長さ　

　　0.433または、0.866を定数とすれば、
　これを使えば！
でもこれ　√3の変形にすぎないですよね。
　だから、使いたくない。
　　そこで、(10√2-10)(10√2-10)π/4－α＝三角
と仮定したり、いろいろやって見ましたが、まだ出ません。
　前回、大チョンボをやっていますので、
　　　今回は自信なしと言うことで！

お礼

重ねて、愚問に答えてくださいました皆様方のご好意に深謝します。

補足

大変にお忙しい中に数回のご回答深謝いたします。
これなら、有名私立中学を目指し進学塾に通う生徒が解けるという解き方ですがサイト以外の協力者や和算のサイトや初歩的数学の古書などから正解が得ることができました。
一辺が等しい正方形と正三角形の面積の比率です。
(1)正三角形の角から対辺の垂線で二分した直角三角形をピタゴラスの定理で解析すると、
(2)正方形の辺と等しい直角の対辺に１０という数値を与えると、以下説明を省略して、
(3)最短の辺　＝　５
(4)１００-２５　＝　７５　＝　正三角形面積　×　２
(5)故に、辺が等しい　正方形の面積　：　正三角形面積×２　＝　
従って、不変の定数　４：３　である
注　正三角形の高さ　７５の平方根　８.６６・・・・である。

回答No.13

liar_adan

最初のお礼を見返してみました。

>この質問の主旨は　辺の長さ値を与えられた正三角形の面積を加減乗除の計算で求められる論理の可否を伺うものと解釈してください

これに回答します。
それは「不可能」というのが答です。

回答の中に、√3が出てきている場合、
同じ値を√3を使わずに表す方法はありません。
また、√3は、整数の加減乗除で表すことはできません。

数学的に言うならば
Q(√3)＝Q　？
という問題になりますが、これは成立しないことがわかっています。
つまり、有利数体Qは加減乗除に対して閉じていることがわかっており、
また√3はQに属しないことは容易に証明されるため、
成立しないのです。

また、回答の値にはπも入りますが、
問題を
Q(√3)＝Q(√3, π)　？
としても、これももちろん成立しません。
これが成り立つと、Q(√3)の中にπが含まれることになって矛盾です。

と書いても、何のことかわからないと思いますが、
とにかく大学レベルの代数学を使うと、
「加減乗除だけでこの値は出せない」
ことが証明できるわけです。
これが成り立たないと、私が大学と大学院で過ごした6年間がまったく無になってしまいます。
どうか信用してください。

この問題を解くならば、今までの回答にあるように、

・正三角形の高さの知識を持っている。(一部の小学生なら可能かもしれない)

・問題文に正三角形の高さを記述しておく。

・近似でいいとして、「弧の1/3の2乗」で出す。(＃５さんの方法)
(ただし近似といっても10％ぐらいの誤差が出るところが気になる。
また、「近似」とか「だいたいの値」という語句が入っていなければ、問題として成り立っていない)

のどれかになると思います。

お礼

愚問に答えてくださいました皆様方のご好意に深謝します。

補足

補足します。
この質問の主旨は　辺の長さ値を与えられた正三角形の面積を加減乗除の計算で求められる論理の可否を伺うものと解釈してください
可能と信じて資料を収集しています。
もう一度計算でなく論理として考察して見てください。
現在、定理関係を解析していっます。

回答No.12

liar_adan

＃１１さんの計算ですが、

>50－三角＋イチョウの葉が2個＝四角/2＋三角・・・(3)
>50－四角/2＋三角＝三角＋イチョウの葉が2個・・・(4)

は正しくは、

>50－三角－イチョウの葉が2個＝四角/2＋三角・・・(3)
>50－四角/2－三角＝三角＋イチョウの葉が2個・・・(4)

であって、それ以後の計算がおかしくなりますよ。

補足

この度、ご回答くださいました皆様に申し上げる代表として補足いたします。
正方形の対角線上に、弧で囲われた三角形が２個、四角形が１個です。
これらを囲う弧線を直線にすると、辺の長さが等しい正三角形が２個と正方形が１個　になります。
正方形と正三角形の面積を比較するときに、正三角形が２個の面積は、その１辺を長辺に短辺は正三角形の高さに等しい長方形になります。
このように、図形を単純化すると小学生向けの図形の基礎問題になります。
更に踏み込んで、面積の差を四則の計算で可能な解析方法が有るか、無いか、ということです。

回答No.11

nabeyann

No.10です。
前部が抜けていました。ごめんなさい。m(__)m

正方形から1／4円の面積を引くと、三角＆イチョウの葉が2個
100－100π/4＝三角＋イチョウの葉が2個
　三角　＝100－100π/4－イチョウの葉が2個・・・(1)
※補助線として、正方形の対角線を引く
1／4円から直角2等辺三角形の面積を引くと、四角の半分＆三角の半分が２個
100π/4－50＝四角/2＋三角・・・・(2)
直角2等辺三角形から三角＆イチョウの葉が2個の面積を引くと、四角の半分＆三角の半分が２個
50－三角＋イチョウの葉が2個＝四角/2＋三角・・・(3)
直角2等辺三角形から四角の半分＆三角の半分が２個の面積を引くと、三角＆イチョウの葉が2個
50－四角/2＋三角＝三角＋イチョウの葉が2個・・・(4)

(3)から(4)引くと
四角/2－2三角＋イチョウの葉が2個＝四角/2－イチョウの葉が2個
　三角＝イチョウの葉が2個・・・(5)
(5)を(1)に代入
　　三角　＝（100－100π/4)/2
＝50－50π/4　　・・・(6)
(6)を(2)に代入
　　100π/4－50＝四角/2＋50－50π/4
四角/2＝150π/4－100
四角＝150π/2－200＝35.6　平方センチメートル
検算
　三角　＝　10.72
　　イチョウの葉＝5.36
図より、イチョウの葉が4個＋三角が4個＋四角＝正方形
4*(10.72＋5.36)+35.6=99.92
　　　　誤差の内ですね。
三角関数を使った結果とズレマスネ！・・・？

回答No.10

nabeyann

1／4円から直角2等辺三角形の面積を引くと、四角の半分＆三角の半分が２個
100π/4－50＝四角/2＋三角・・・・(2)
直角2等辺三角形から三角＆イチョウの葉が2個の面積を引くと、四角の半分＆三角の半分が２個
50－三角＋イチョウの葉が2個＝四角/2＋三角・・・(3)
直角2等辺三角形から四角の半分＆三角の半分が２個の面積を引くと、三角＆イチョウの葉が2個
50－四角/2＋三角＝三角＋イチョウの葉が2個・・・(4)

(3)から(4)引くと
四角/2－2三角＋イチョウの葉が2個＝四角/2－イチョウの葉が2個
　三角＝イチョウの葉が2個・・・(5)
(5)を(1)に代入
　　三角　＝（100－100π/4)/2
＝50－50π/4　　・・・(6)
(6)を(2)に代入
　　100π/4－50＝四角/2＋50－50π/4
四角/2＝150π/4－100
四角＝150π/2－200＝35.6　平方センチメートル
※検算
　三角　＝　10.72
　　イチョウの葉＝5.36
図より、イチョウの葉が4個＋三角が4個＋四角＝正方形
4*(10.72＋5.36)+35.6=99.92
　　　　誤差の内ですね。
三角関数を使った結果とズレマスネ！・・・？

回答No.9

yasu31

こんばんは

＃６のyasu31ですが　私の考え方で行くと　円の接線の外側を結ぶ正四角形ですので　間違えました。
また＃２のかたの考え方では　出ませんのであしからず。

お礼

愚問に答えてくださいました皆様方のご好意に深謝します。

回答No.8

may-may-jp

中学受験の塾で、多分、60度と30度の直角三角形の辺の比1:2:1.7というのを教わった覚えがあります。さすがに√は出てきませんでしたが。

お礼

愚問に答えてくださいました皆様方のご好意に深謝します。

補足

計算では　１：２：１.７３２０・・・ですから概算として記憶する数値としては１.７で正しいことです。
平面幾何の基礎として小学六年生ができる四則の計算で求める論理が存在するか、否定されるか、いう結果になります。
十数年前この問題を知ったときの後日に同様な問題に正三角形の高さを８.６６cmとして、という著書がありましたので私も否定しましたが最近になって、可能であるとうな事も伺えるので、このサイトで回答があればと思いました。

回答No.7

unos1201

100*3.141592654/3-100(sqr3-1)=31.51467438
となって、１００倍のパイを３で割り、そこから、１００倍の（ルート３から１を引いたもの）を引くに数式がまとまります。

１００ｘ３/３－１００ｘ（１．７－１）＝３０となり、パイを３、ルート３を１．７で考えても３０程度の値は一応でますが、ここまで数式を整理できないでしょうから、誤差が大きくなります。考え方を見るのであり、正解を引き出すのが目的ではない問題だと思います。重力加速度を１０にしたり、パイを３にするのは野蛮にみえるかも知れませんが、数式の整理能力が高等数学であれば、数値代入を最後にもってくると、概算は結構正確です。小学生にそれは望めませんので、大体このようになるを仮定で使用させ、全体の４分の１より大きく、３分の１より小さいと感覚的につかめれば、ＯＫという方針みたいです。

ちなみに、有効数字、１桁では３１．５も２５も三十になってしまうのです。蛇足でした。

補足

この出題者の目的は平面幾何学の基礎を追求するものと解釈して大勢の方々の知恵を拝借したい思いました。
貴重なご回答ありがとうございました。

回答No.6

yasu31

こんばんは

考え方として　正方形のそれぞれの角を左上を１　右上を２　左下を３　右下を４　とする
まず考えるのは　３を中心とした弧（１－４間）と４を中心とした弧（２－３間）で交点aが出る　aから垂直に線を引き（３－４間）の交点を点b (１－２間）の交点を点cとする。点a－点ｂは正三角形の中心線の１本　ですから直角三角形の定理から　５×√３＝８．６６　と言う事は点a－点c間は　１０－８．６６＝１．３４　で各辺の三角は　５×１．３４×８÷２＝２６．８と求まる。
つぎに各１，２，３，４から対角線を引きその交点を
点dとする　各辺が斜辺となる直角二等辺三角形が４つ
出来る。つまり　定理（１：１：√２）から中心までの距離が分かる　１０/√２＝７．０７１　で円弧の距離１０　に対し　１０±７．０７１で正方形の　１辺の長さが求まります　５．８５８×５．８５８＝３４．３１６です。

お礼

この出題者の目的は平面幾何学の基礎を追求するものと解釈して大勢の方々の知恵を拝借したい思いました。
貴重なご回答ありがとうございました。

回答No.5

unos1201

近似値を最近は使うみたいです。内がわの四角形の弧はその角から底辺に向かって線を引くと正三角が引けます。この組み合わせで、内側の四角形の１辺から周りの四角形の点に線を引いた扇形の中心角は３０度になり、直径２０センチの円の弧の１２分の１が内側の１辺に等しいので、
２０ｘ３／１２＝５センチとなり、この弧を１辺とする正方形に近いので、５ｘ５＝２５平方センチメートル程度となるのだそうです。パイを３にしたり、近似を使用すると概算でこうなります。

補足

無理数ですから究極は近似値になることは否定できないことです。
この出題者の目的は平面幾何学の基礎を追求するものと解釈して大勢の方々の知恵を拝借したい思いました。
貴重なご回答ありがとうございました。

回答No.4

ymmasayan

前の質問(No.５８１１７８）でも回答したものです。
No.１の方の言われるとおり正三角形の面積は必須ですので√は使わざるを得ません。
前の質問に回答した方法でやれば答えは３１.５平方ｃｍになるはずです。

No.2の方の方法は疑問があります。

お礼

重ね重ねの回答に深謝します。
基本的な小学校教育の範囲を超えた出題も、と考えます。
難易度を下げて、正三角形の高さを８.６６として、という出題もあります。
この質問の主旨は　辺の長さ値を与えられた正三角形の面積を加減乗除の計算で求められる論理の可否を伺うものと解釈してください、
補足を兼ねた御礼とします。
　　ありがとうございました。