2次関数の最大・最小の問題…

質問

数Iの問題です。
長さ10cmの針金を2つに切り分けて、それぞれ折り曲げ2つの正方形を作り、それらの正方形の面積の和を最小にしたい。針金をどのように切り分ければよいか。

という問題です。解いてみたのですが、よくわかりません!教えてくださいっ

回答No.2

BookerL · ベストアンサー

＞解いてみたのですが、よくわかりません

　どこまで解いてみたのかを書いてもらうと、アドバイスしやすいのですが。でないと、＃１の方のような回答しかでてこないかも。

　私もどこまで書いたらいいのかわかりませんが、ちょっと書いてみます。

　針金を　ｘ[cm] と （１０－ｘ）[cm] に切り分けます。

　ｘ[cm] の針金で正方形を作ると、一辺の長さは (1/4)ｘ[cm] で、その面積は(1/16)ｘ^2[cm^2]
（１０－ｘ）[cm] の針金で正方形を作ると、一辺の長さは (1/4)(１０－ｘ)[cm] で、その面積は(1/16)(１０－ｘ)^2[cm^2]

　正方形の面積の和は　(1/16)ｘ^2　＋　(1/16)(１０－ｘ)^2　なので、これが最大になるｘを求める。

お礼

ありがとうございました。
これをヒントに頑張ってみます。

回答No.9

noname#88823

すいません。訂正します。
16ではなく、1/16が正しい。
8ではなく、1/8が正しい。

お礼

訂正ありがとうございます!

回答No.8

noname#88823

＃４です。
何やら数学Iの本来の解き方から逸脱してきましたね。
＃２さんの式でから、求める面積をｙとすると
ｙ＝1/16ｘ＾2+1/16（10-ｘ）＾2
　＝16｛ｘ＾2+（10-ｘ）＾2｝を展開すると
　＝16（ｘ＾2+100-20ｘ+ｘ＾2）
　＝16（2ｘ＾2-20ｘ+100）
　＝8（ｘ＾2-10ｘ+50）
　＝8｛（ｘ-5）＾2+25｝
ここまでくれば、ｘ＝5が最小であることが
理解できると思います。
紙に書いてみてください。
画面では理解しにくいので。

お礼

はい。紙に書いて頑張ってみます!!
ありがとうございました。

回答No.7

mister_moonlight

＞ですが、Mというのは何にあたるのでしょうか?

誤解されやすい書き込みがあるので訂正しておく。

（訂正前）求める面積をＳとすると、Ｍ＝16*Ｓ＝x＾2＋y＾2　である。
（訂正後）求める面積をＳとすると、16*Ｓ＝x＾2＋y＾2　であるから、Ｍ＝16*Ｓとおくと、

＞あと、恒等式とは何ですか?

（この場合は）任意の実数x、yに対して、常に成立する式を言う。
これは教科書に載ってるだろうよ。

お礼

ありがとうございます。

記憶にないということは、教科書に載ってなかったということだと思います。

回答No.6

Knotopolog

＃３です．

Ｗ＝(1/8)[(Α－5)^2＋25]

この Ｗ は，(1/8)[(Α－5)^2＋25] ですから，
(1/8) は一定なので最大・最小には関係しません．
したがって，[(Α－5)^2＋25] の最小を考えればいいことになります．
[(Α－5)^2＋25] の(Α－5)^2 は，平方数（２乗した数）ですから
Α－5 が正でも負でも (Α－5)^2 の全体は正です．ですから，[(Α－5)^2＋25] は
25 に僅かでもプラスされれば，25 より大きくなります．したがって，A－5＝0 の
場合が [(Α－5)^2＋25] の最小値になります．

お礼

意味がわかりましたっ!
ありがとうございました!!

回答No.5

mister_moonlight

まぁ、確かに“数Iの問題です”と質問者が言ってるのに、微分を持ち出す方がどうかしている。

10cmを2つに分けた時の長さを　各々　x、yとする。
x＋y＝10.　勿論、x＞0、y＞0.
求める面積をＳとすると、Ｍ＝16*Ｓ＝x＾2＋y＾2　である。
従って、恒等式：2（x＾2＋y＾2）＝（x＋y）＾2＋（x-y）＾2　より、（x＋y）＾2＋（x-y）＾2　＝100＋（x-y）＾2≧100.　等号は、x-y＝0の時、つまり、x＋y＝10より　x＝y＝5。
よって、x＾2＋y＾2≧50　から、求める面積の最小値は？

お礼

回答ありがとうございます。
ですが、Mというのは何にあたるのでしょうか?
あと、恒等式とは何ですか?

回答No.4

noname#88823

通信制高校の１年生です。
教科書の練習レベルの問題かと思います。
すでに解答がでていますので書きませんが、＃２さんの考え方がよろしいかと思います。
＃３さんは、微分を使われていますので、私にもわかりません。
教科書をもう一度、よく読んで復習されることをお勧めします。
０＜ｘ＜１０、もお忘れなく。

お礼

私も通信制ではありませんが、高校1年生です。
まさしく、教科書の問題です。
アドバイス、ありがとうございます。

回答No.3

Knotopolog

2つの針金の長さをΑとΒにします．すると，

Α＋Β＝10cm

Αの長さとΒの長さで正方形を作りますから，正方形の一辺が，それぞれ，
Α/4 と Β/4 の正方形が２つ出来ます．

Αの長さの針金で作った正方形の面積をΧとし，
Βの長さの針金で作った正方形の面積をΥとします．すると，

Χ＝(Α/4)^2

Υ＝(Β/4)^2

です．

２つの正方形の面積の和を Ｗ とします．すると，Ｗ は，

Ｗ＝Χ＋Υ＝(Α/4)^2＋(Β/4)^2

Ｗ＝(Α/4)^2＋(Β/4)^2

です．ここで，ΑとΒの長さは，Α＋Β＝10cm　の関係にありますから，

Β＝10－Α

です．これにより，Ｗ＝(Α/4)^2＋(Β/4)^2 は，

Ｗ＝(Α/4)^2＋[(10－Α)/4]^2

となります．これを変形して書くと，

Ｗ＝(1/16)[Α^2＋(10－Α)^2]

となります．更に，変形すると，

Ｗ＝(1/16)[Α^2＋100－20Α＋Α^2]

Ｗ＝(1/16)(2Α^2－20Α＋100)

Ｗ＝(1/8)(Α^2－10Α＋50)

Ｗ＝(1/8)[(Α－5)^2＋25]

この Ｗ が最小になるためには，Α－5＝0 です．

つまり，Α＝5 が答えとなります．

したがって，答えは，10cm の針金を半分の 5cm に切り分ける．

数 I では，微分法を習わないのでしょうか？

因みに，微分法を使えば，式：Ｗ＝(1/8)(Α^2－10Α＋50) をΑで微分すると，

dＷ/dΑ＝(1/16)(2Α－10)

と書けます．最小になる変曲点を求めるには，

dＷ/dΑ＝0　ですから，dＷ/dΑ＝(1/16)(2Α－10)＝0 ，したがって，

2Α－10＝0

Α＝10/2＝5cm

つまり，答えは，やはり，10cm の針金を半分の 5cm に切り分ける．となります．

お礼

ありがとうごさいます。
補足がわかれば解けると思いますので、
頑張ります。

補足

Wが最小になるためにはA－5=0
というのはどうしてそうなるのでしょうか?
教えてください!

回答No.1

noname#103103

切り分けた１つをｘとおいて式化していけばいける、かも。

お礼

ありがとうございます。