２次方程式の応用

質問

AB=5,　BC=4,　CA=3である直角三角形ABCがある。この三角形に面積が3分の8である長方形PQRCが内接しているとき、長方形の短い辺の長さを求めよ。

☆・・・この問題を何時間考えても全然分かりません・・・面積を3分の8であらわす理由も分かりません・・・長方形とかで一辺の長さが分からないとかぐらいの程度ならできるのですが・・・
どなたかご丁寧な説明をしてほしいです！☆

長さ１０cmの線分を大小２つに分けて、それぞれの長さを１辺とする正方形を作る。２つの正方形の面積の和が６０平方センチメートルであるとき、大きい正方形の１辺の長さは何cmか。√は、そのままでよい。

☆これも同じくさっぱり分かりません・・・
どちらか一つでも良いのでお願いします！☆

回答No.4

rnakamra

#2のものです。
問題をよく読んでいなかった。
一つの頂点はCですね。
場合わけの必要はありません。#3の解き方でOKです。
気をつけないといけないのは#3の解き方をした場合、得られたpがそのまま答えになるわけではありません。X座標とY座標のうち、小さいほうが答えになります。ご注意を。

回答No.3

haberi

最初の方はCを原点としAを（０，３）、Bを（４，０）におけばABは
ｙ＝-3/4ｘ＋３になります。
内接するということはQがA,B上にあるということなので長方形の面積は
QのX座標（ｐとおく）とY座標をかけたものになります。
つまりS=p(-3/4p＋３）です。S=8/3なのですから
p(-3/4p＋３）＝8/3をとけばいいのでは。

＃１のかたはSを６＊3/8とされていますが、質問者様の文には8/3とかいてあります。
3/8のほうが答えがきれいで、8/3だとぐちゃぐちゃですが、どっちが本当なんでしょう

回答No.2

rnakamra

1番目の問題
まず、内接する長方形というものがどのようなものなのか考える必要があります。
4箇所の頂点全てが三角形の辺上にある必要がありますが、三角形には辺が三つしかありませんので、どれか一つの辺に二つの頂点がいる必要があります。
長方形の頂点が2個のる辺がABなのかBCなのかCAであるのかで考え方を分ける必要があります。長方形のある１辺は必ず三角形の辺上になることも忘れてはいけません。

ここら辺は自分で図を書いて考えてみるとよいと思いますが、実はBC上に頂点が２個のる場合は必ず１個の頂点はCになります。このとき、CA上にも頂点が２個のることになります。
ですから場合わけは二通りでよいことになります。

あと、この場合は長方形のどちらか1辺をxとすれば、図形上の特性を利用することでもう一方の辺の長さをxであらわすことができるようになります。
長方形の面積は隣り合う辺の長さの積であらわされますのでそこから方程式を解けばよいと思います。
このヒントを元に自分でがんばってください。

一応確認しておきますが、長方形の面積が"8/3"ですか、それとも三角形の面積の8/3倍ですか。

多分、答えは全部で4通り出てくると思います。

2番目の問題は#1の通りだと思います。

回答No.1

FEX2053

1番目は複雑な計算をしたくなりますし、多分そっちが正解なんで
しょうが、これ「視察」で解けてしまいますね。

１．ABを4等分し、そのAより1/4の点をQとする。
２．ACを4等分し、そのAより1/4の点をPとする。
３．BCを4等分し、そのCより1/4の点をRとする。

こうすれば、PQRCは長方形、かつ三角形の面積の6/16=3/8になります。
各辺1/4した点を線で結んで、細かい三角形に分けて数えると簡単に
分かると思いますよ。

多分CR=x、AP=yと置いて、x(3-y)=6,y=3/4x とかで解くんでしょうが。

2番目は　x^2 + (10-x)^2 = 60 を解くだけだと思います。