最小定理の証明について

質問

正方形、または長方形の面積（２つの正の数の積）が一定であるとき、縦の辺の長さと横の辺の長さの和は、それぞれの辺の長さが等しいときに最小となる。これを最小定理というようですが、どのように導かれるのでしょうか。
単純そうなので自分でできるかと思い、いろいろ数式を変形してみましたがわかりませんでした。また、検索してみても同名（？）の何やら難しいものが出てくるばかりで途方に暮れています。ご解答よろしくお願いします。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

単純に正攻法でやります。
２つの正数を a, b とし

ab=c^2 c は正数

とすると、辺の和 a + b = a + c^2/a

これを aの関数 f(a)=a + c^2/a
とするとその微分は

f'(a)=1 - c^2/a^2

f'(a)は a=c で０になり x<cでは減少、
x>cでは増加ですので

a=c 、つまり a=b=cで辺の和は最小値になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
数学が苦手なので読み進めるのもなかなか苦労しましたが、実際に数値を代入したり、グラフを書いたりしているうちに、なんとか理解できました。またわからないところが出てきたときにはよろしくお願いします。

回答No.4

noname#221368

一般的にこういうのは、等積問題と言われますが、解はたいてい対称性を持ちます（等周問題も同様）。例えば図形を限定しなければ等積問題の解は、円になります（全方位に対して対称）。今は長方形なので正方形（2軸対象：a＝b）になった訳です。

　この性質を知っていると、ちょっと発見的な解き方ができます。また何故対象になるかも、すぐわかります。

　まずa＝b＝c（面積S＝c^2）の時に注目します。もしa＜cなら、面積a・b＝S（＝c^2）は不変なので、a＜c＜bです。同様に、c＜aなら、b＜c＜aです。つまり、面積a・b＝S一定の縛りがあるので、a＝cを境にaとbの役割を入れ替えられます。

　そうするとa・b＝S＝一定のもとで、a＋bを関数f(a)で表すと、a＝c付近のa＜cでf(a)が単調増加（単調減少）なら、a＝c付近のc＜aでf(a)は、単調減少（単調増加）でなければなりません。

　a＝cは単調増加（単調減少）と単調減少（単調増加）の境い目なので、f(c)は、極値（極大値または極小値）である事がすぐわかります。

　そこでf(c)が都合よく、最大または最小だったと仮定して試算してみる価値は、十分ある事になります。例えば次のように最小だったと仮定し、

　　a＋c^2/a≧2c　：　左辺はa＋b，右辺はa＝b＝cの時のa＋b．

を試みると、両辺にa＞0をかけて移行し、

　　a^2－2c・a＋c^2＝(a－c)^2≧0　は当然．等号はa＝c＝√Sの時．

という結果になります。

お礼

疑問が解けました！ご回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#190065

相加平均については承知しているが、和と積の大小しか言っていない(?)。「それぞれの辺の長さが等しいとき」最小になることが知りたいということだと思います。そこで、一般性を損なうことなく、x≧y>0とし、和/2≧√積の右辺に関して、
xy-y^2=(x-y)y≧0 だから、√xy≧√y^2
つまり、２乗したものが最小。だから、x=y のとき最小。蛇足を恐れながら、こんな感じでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
よろしければ補足の方もご覧頂ければと思います。

補足

ご回答ありがとうございます。
式の流れは追うことができたのですが、「xとyの積が一定である」ということをどのように読み取ったら良いでしょうか？
数学が苦手でイメージが難しいです。
丁寧にご回答頂いているのにきちんと読み取れず申し訳ないです。

回答No.1

spring135

最小定理という名前は聞いたことがあるような無いような程度ですがあまり重要なものではないでしょう。

長方形の縦の辺の長さと横の辺の長さを各々a,bとするとその和はa+b,面積はab,算術平均と幾何平均の関係により

a+b≧2√ab

＝はa=bのときに成立するという話に含まれるのではないでしょうか。

上の式はいろんな証明法があるでしょうが、a≧0、b≧0のとき

(√a-√b)^2≧0

ということから直ちに導かれます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
だいぶイメージできるようになってきました。