漸近線

質問

分数の関数、例えば
Y=(x^2+4)/x
のグラフの漸近線の出し方を教えてください。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

漸近線の定義を思い出してと、
漸近線の定義は、
(1) (x→a+0)limf(x)=±∞ 　または、(x→a-0)limf(x)=±∞
のとき、　直線ｘ=a は漸近線である。
(2)関数ｙ＝ｆ（ｘ）が式の変形によりｆ（ｘ）＝ｍｘ+ｂ+ｇ（ｘ）の形となりｘ→±∞　のとき　ｇ（ｘ）→0となるならｙ＝ｍｘ+ｂ　がｙ＝ｆ（ｘ）の漸近線である。

ですから問題の「Y=(x^2+4)/x 」は(2)を使うことになりますね。
変形すれば
Y=x+(4/x) g(x)=(4/x) になるね。　ｘ→±∞　のとき　ｇ（ｘ）→0
だから　漸近線は、Y=ｘ　になるね。

こんなんでいいのかな。

お礼

よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.4

good777

ｙ＝(x^2+4)/x
は
ｙ＝x+(4/x)
となるから、
ｙ＝ｘのグラフと
ｙ＝4/ｘ
のグラフを重ねてかいて、
和のグラフをかく。
すなわち、漸近線は
ｙ＝ｘとy軸（ｘ＝0）
の2本による双曲線
[答え]漸近線はｙ＝ｘと、ｘ＝0

お礼

グラフを書くときのチェックに使えそうですね。

ありがとうございました。

回答No.3

rei00

参考 URL のページ（漸近線）はいかがですか。このページによると，求める漸近線を　Y = αX ＋ β　と置くと，αとβは次の様になるようです。

　α = (x→±∞)lim(f(x)/x)
　　 = (x→±∞)lim(y/x)

　β = (x→±∞)lim(f(x)－αx)
　　 = (x→±∞)lim(y－αx)

　お書きの例なら　f(x) = (x^2+4)/x　ですから，

　　α = (x→±∞)lim(1+4/x^2) = 1
　　β = (x→±∞)lim(x+4/x－x) = 0

　となり，漸近線は　Y = X　です。

参考URL：

http://isweb23.infoseek.co.jp/school/phaos/diff2/asymptote.htm

お礼

よくわかりました。

ありがとうございました。

回答No.2

ageha18

下の方の解き方が一番正しい方法だとおもいます。
ただ私はグラフなんかを書くだけの時は、あんまり面倒な事は考えないで、

ｙ=(x^2+4)/x
=x+4/x
と変形してしまって、前半の部分を見てｙ=ｘ、後半の部分を見て分母が０ではダメだからｘ=０としちゃってます。楽です。。。

お礼

確認するときにはこちらの方が便利ですね。

ありがとうございました。