y=f(x)の漸近線の求め方が分かりません。

質問

y={(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)のグラフの漸近線を求める時に

(1)lim(x→±∞)*y/x=1
(2)lim(x→±∞)*(y-1*x)=0

の2つを求めて「ゆえに漸近線はy=xである。」と書かれていますが。理解できません。何でxで割るのか、何で(1)(2)のような作業をするのかということについてはパターンとして覚えればいいと思います。

しかしなぜ(1)(2)を考えると漸近線はy=xになるかが分かりません。

どなたか教えてください。

回答No.6

kkkk2222 · ベストアンサー

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この議論は、これが最後です。
当方の力は、殆んど無力です。
後半の証明は誤謬を確信しています。
この問題は漸近線が現れるよう、工夫されています。
初めてみました。
ためしに、
y={(xーＢ)^2*(xーＣ)}^(1/3)
Ｂ、Ｃに適当な値を入れてやってみてください。
漸近線が出現しない事が確認できるはずです。
かの解法だと、漸近線が出現します。

１００歩譲っても、質問者様は高校生と推定できます、
何年生であるかの、情報も調査してありません。
当方は調査済みです。

確かに、この問題は難解すぎます。
大学受験で、かの解法が通用できるでしょうか？
これは、断言できます。
＜通用しません。！＞
如何に、下手な解法であっても、不定形を解消するには、
当方の解が＜通用する解です＞
いかにグラフを描こうと、＜証明＞とは無関係です。

＞＞(xが負の領域でyが定義されるでしょうか？負数の(1/3)乗です?)
完全な誤謬です。
確認して、記述しています。
＜負数の(1/3)乗が、存在することは明白です。＞
＜高２で、でてきます。＞

他の部分での考察では、＜不要＞部分が散見されます。
数学では、このような事を嫌います。
数学専攻でない、と推測します。
ＥＯＦ　ＦＯＲＥＶＥＲ
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回答No.7

mis_take

ｙ＝ｆ(ｘ) の（ｙ軸に平行でない）漸近線 ｙ＝ｍｘ＋ｎ は
ｘ→∞ または ｘ→－∞ のときに
lim(ｆ(ｘ)－(ｍｘ＋ｎ))＝０
となる直線のことです。

ｍは次のようにして求められます。
ｍ＝{(ｆ(ｘ)－ｎ)－(ｆ(ｘ)－(ｍｘ＋ｎ))}{ｘ}　（定数関数）
　＝lim{(ｆ(ｘ)－ｎ)－(ｆ(ｘ)－(ｍｘ＋ｎ))}{ｘ}
　＝lim{ｆ(ｘ)/ｘ}－lim｛ｎ/ｘ}－lim{ｆ(ｘ)－(ｍｘ＋ｎ)}{ｘ}
　＝lim{ｆ(ｘ)/ｘ}　…これが(1)ですね。
図形的意味は，曲線上の点Ｐ(ｘ,ｆ(ｘ))と原点Ｏを結んだＯＰの傾きの極限値です。
ｎが０でなくても，無限の遠くでは 漸近線とＯＰが平行になるということです。

ｎは次のようにして求められます。
ｎ＝ｆ(ｘ)－ｍｘ－(ｆ(ｘ)－(ｍｘ＋ｎ))　（定数関数）
　＝lim{ｆ(ｘ)－ｍｘ－(ｆ(ｘ)－(ｍｘ＋ｎ))}
　＝lim{ｆ(ｘ)－ｍｘ}　…これが(2)ですね。

たとえば，ｙ＝logｘ は ｍ＝０ ですが ｎ＝∞ になるので，（この形の）漸近線はありません。

お礼

皆さんどうもありがとうございました。僕にはレベルが高すぎてついていけない議論もありました。。。

ちなみにこのタイプの漸近線は数件出版の青チャートに載っていました。それを覚えることにします。

ちなみに僕は数学がかなり苦手な高3です。

回答No.5

info22

＃１、４です。
＃２、３様の指摘どおり
(2)lim(x→∞)　(y-x)=0
すなわち
y-x={(x+1)^2*(x-2)}^(1/3) -x →0　(x→∞）
の説明は大雑把過ぎて少し無理がありますね。
＃２、３様ごめん。やりなお押してみました。
y-x={(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)-x
=[{(x+1)^2*(x-2)}-x^3]/[(x+1)^2*(x-2)}^(2/3)+x^2+x{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)]
=-(3x+2)/[(x+1)^2*(x-2)}^(2/3)+x^2+x{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)]
=-(1/x){3+(2/x)}/[(1+(1/x))^2*(1-(2/x))}^(2/3)+1+{(1+(1/x))^2*(1-(2/x)}^(1/3)]
→-(1/x)*3/2→0　（x→∞）
これなら良いですね。

回答No.4

info22

＃１です。
＃２さんの指摘がありましたが
以下の補足を除いて、A#1の解でいいとお思います。
(f(x))^b
でbが整数でないとき、f(x)≧0の暗黙の条件があると思います。

(xが負の領域でyが定義されるでしょうか？
　負数の(1/3)乗です?)

今の場合は(x+1)^2*(x-2)≧0でx=-1またはx≧2ですね。

漸近線を考える場合はx≧2で考えれば良いです。

関数グラフソフトでx≧2でグラフを描いてy=xが漸近線になることを
確認してA#1の回答をしております。
念のため。

(1)はy/x →　1　(x→∞）
y/xの比がx＞＞1で1に漸近すると言うことです。

(2)はy-x={(x+1)^2*(x-2)}^(1/3) -x →0　(x→∞）
関数がy=xに漸近する条件ですね。

回答No.3

kkkk2222

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表示が上手く行かず、誤記も散見されますので、
再度、試みます。

＃１様ゴメン　＃１様の解法は無理があるようです。
定数項が無視出来るとは、思われません。（特に後半の証明では無視出来ません）

Ｆ（ｘ）＝{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)　　訂正部分
Ｆ’（ｘ）=(x-1)/((x+1)(x-2)(x-2))^(1/3)　訂正部分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ・
　　　　－１　　　　　　　　　　　１　　　　　２　・
ーーーー○ーーーーーーー○ーーーー○ーーー
　　　　　・　・　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　 ・　　　　　・　　　　　　　　　　　　　・
　　　・　　　　　　　　　　　　　　・　　　　　　

　　　　　　　　　　　［{(x+1)^2*(x-2)}ー(ｘ^3)］　　　　　　
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
［{(x+1)^2*(x-2)}^(2/3)］+［{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)］［{((ｘ^3)^(1/3)}］+［{((ｘ^3)^(2/3)}　　　　　

　　　　　　　　　　　－３ｘ－２　　訂正部分　　
＝　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
［{(x+1)^2*(x-2)}^(2/3)］+［{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)］［{((ｘ^3)^(1/3)}］+［{((ｘ^3)^(2/3)}　

Ａ－Ｂ＝（Ａ＾３－Ｂ＾３）／（Ａ＾２＋ＡＢ＋Ｂ＾２）を使っています。
ーーー

回答No.2

kkkk2222

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うかつにも、この関数が漸近線をもつ事をしりませんでした。
＜尖点を持つことは、知っていました。＞

Ｆ（ｘ）＝

y'=(x-1)/((x+1)(x-2)(x-2))^2

＃１

傾きが±で変化するのはｘ＝１、－１です。
ｘ＝ー１　で傾き±∞
ｘ＝２　で傾き＋∞
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ・
　　　　－１　　　　　　　　　　　１　　　　　２　・
ーーーー○ーーーーーーー○ーーーー○ーーー
　　　　　・　・　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　 ・　　　　　・　　　　　　　　　　　　　・
　　　・　　　　　　　　　　　　　　・

となるはずですが、漸近線はどうしても、思いつきません。
＜漸近線、に気が付くのは無理と思います＞
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＃２　で　　＜漸近線はy=x＞与えられたとして考えます。

そのつもりで見ると、Ｇ（ｘ）=xは漸近線に見えるような・・・。
これは説明（証明を要します）
Ｇ（ｘ）=xが与えられていれば。

ｘ→±∞のとき
Ｆ（ｘ）={(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)→Ｇ（ｘ）=x　を示す事になります。

ここまで、考えると確かにＦ（ｘ）＝Ｘに見えてきます。
＊＊Ｆ（ｘ）の傾きが１である事を示す。
Ｆ（ｘ）／ｘ＝［（１＋（１/x））（１＋（１/x））（１ー（２/x））］^(1/3)→1 でＯＫ

これでは、不足です。傾きが１だけではＦ（ｘ）がＧ（ｘ）に近づくとは言えません。
＊＊Ｆ（ｘ）ーＧ（ｘ）→０　を示す。
Ｆ（ｘ）ーＧ（ｘ）
＝{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)ーｘ　　
＝［{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)ー{((ｘ^3)^(1/3)}］

　　　　　　　　　　　［{(x+1)^2*(x-2)}ー(ｘ^3)］　　　　　　
＝ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
［{(x+1)^2*(x-2)}^(2/3)］+［{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)］［{((ｘ^3)^(1/3)}］+［{((ｘ^3)^(2/3)}　

　　　　　　　　　　　－３ｘ－４　　　　　
＝　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
［{(x+1)^2*(x-2)}^(2/3)］+［{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)］［{((ｘ^3)^(1/3)}］+［{((ｘ^3)^(2/3)}　

上手く、分母が２次、分子が１次になり、極限値　０が言えます。

さすがに、バテました。
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回答No.1

info22

x>>1のとき
xに加えた定数は無視できるから
y＝{(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)≒{(x)^2*(x)}^(1/3)＝{x^3}^(1/3)＝x
となります。
つまり
x->∞ではy/x -> 1, y-x -> 0
となるわけです。

なお、y={(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)では
(x+1)^(2/3),(x-2)~(1/3)の項が(2/3)乗根、(1/3）乗根が含まれますので
x+1≧0，x-2≧0です。つまり　x≧2です。

従って、x≧2ですから
(1)lim(x→∞)　(y/x)=1
(2)lim(x→∞)　(y-x)=0
となるかと思いますがいかがですか？

お礼

定数を無視という考え方は非常に参考になり、これからいろいろな問題を考えるうえで使えると思いました。

ありがとうございました。