分数関数

質問

分数関数の問題です。よろしくお願いいたします。

関数y=x^３/(ｘ^2-1)の値の増減、極値、漸近線を調べてそのグラフを
書けという問題です。

私は普通に微分して増減表もかけたのですが、漸近線とこれはｘ＝１でとぎれるので、その近辺を調べたいのですが、この二点がどうしてもわかりません。

極限を求めるのが苦手なのですが、この問題の解答では、
「式変形をして、y=x+x/(ｘ^2-1)なので、y=x、ｙ= x/(ｘ^2-1)のグラフの和曲線と考えれば、漸近線はすぐわかる
」と書いてあるのですが、これはどういう意味でしょうか。

ある関数が和曲線であるときは、そのそれぞれの関数の漸近線がその関数の漸近線になるということですか？
ですが、y=xの漸近線はわかりますが、ｙ= x/(ｘ^2-1)の漸近線はどうしたらわかるのでしょうか？この式から漸近線はすぐわかるのですか？それともこの式も漸近線をあらためて求めるということでしょうか。

例えば、ｙ= x + x/(ｘ-1)の関数の場合は、漸近線はy=xとx=1とわかりますが、ｙ= x/(ｘ^2-1)のように分母に二乗があるような場合は漸近線はどうなるのでしょうか？質問ばかりでもうしわけありませんが、
○漸近線の求め方と
○ｘ＝１近辺の極限の求め方
を教えてください。よろしくお願いいたします。を調べたいのですが、この二点がどうしてもわかりません。

回答No.1

oyamala

y=f(x)の漸近線は、y=ax+bであると仮定すると、
lim(x→±∞){f(x)-(ax+b)}=0　を満たします。（プラスかマイナス∞のどちらでもよい）
イメージ的に、段々f(x)の値が漸近線に近づいていくことからわかると思います。
上記の式を満たせば、x→∞にいくわけですから、当然
lim(x→∞){f(x)-(ax+b)}/x = 0
も満たします。
このとき、lim(x→∞){f(x)/x - (a+b/x)}=0ですが、x→∞ですから、
b/xの項が消えて、aが残ります。これでまずaを求めることができます。
次に、最初の式に求まったaを代入して、bを求めれば、漸近線が求まります。
ただし、これはあくまで漸近線が存在すると仮定したときのものですから、存在しないときは求まりません。

また、x=1付近の極限ですが、これはx→1-0,x→1+0の極限をとると、
1/0　の形になりますから、それぞれ-∞,+∞に発散しますので、
x=1も漸近線となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
「1/0　の形」は不定形ではないのですね。
私は不定形だと思ってさらにどうにか式変形しないのかと思ってしまいます。漸近線の求め方も再度チェックしてみます。ありがとうございました。