(1)aを1より大きい実数とする。0以上の任意の実数xに対して、次の不

質問

(1)aを1より大きい実数とする。0以上の任意の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
　 log2+(x/2)loga≦log(1+a^x)≦log2+(x/2)loga+{(x^2)/8}(loga)^2 (ただし対数は自然対数)
(2)n=1,2,3,…に対してa[n]=[{1+3^(1/n)}/2]とおく。(1)の不等式を用いて極限lim[n→∞]a[n]を求めよ。

(1)の(第一式)≦(第二式)は証明できたのですが、(第二式)≦(第三式)の証明の仕方が分かりません。よろしくお願いします。

回答No.1

aquatarku5

(1)
b=log(a)とおくと、a>1よりb>0。
a=exp(b)より、a^x=exp(bx)

（第2式）=log(1+exp(bx))
（第3式）=log2+bx/2+(bx)^2/8

f(x)=（第3式）-（第2式）　とおくと、
f'(x)=b/2+b^2x/4-bexp(bx)/(1+exp(bx))
=b{1/(1+exp(bx))+bx/4-1/2}

f''(x)=b{-bexp(bx)/(1+exp(bx))^2+b/4}
=b^2{1/4-exp(bx)/(1+exp(bx))^2}

exp(bx)=sとおくと、s>=1で、
｛｝内=1/4-s/(1+s)^2=(s-1)^2/(s+1)^2/4>=0
∴x>0において、f''(x)>=0
f'(0)=0　なので、
∴x>0において、f'(x)>=0
f(0)=0　なので
∴x>0において、f(x)>=0　即ち、（第2式）<=（第3式）