4n+1型の素数について

質問

４ｎ＋１型素数の無限性を示せ。
次のように考えた。行き詰まったのでアドバイスをお願いします。
４ｎ＋１の素数は有限で最大をｐとする。
k=4(5×１３×・・×ｐ)＋１　とおく。
ｋは合成数のとき、ｋは４ｎ＋３型の素数の偶数個の積に素因数分解できるから、
　ｋ＝（４ｘ＋１）（４ｙ＋１）　ｘ，ｙ自然数
　　＝１６ｘｙ＋４ｘ＋４ｙ＋１　　となる。
　このあとの矛盾の導き方が見えないので、この流れの証明とすると
このあとどうなるのか、よろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl

ANo.1です。

> 平方剰余の相互法則の第1補充法則を使うために、２乗しておくのでしょうか。

そうですね。

> もし、平方剰余の相互法則の第1補充法則を使わないとするとどのような解答になっていくのか。
> 　ア　k=4(5×１３×・・×ｐ)＋１とおいてできるのか。
> 　イ　k = 4(5^2 × 13^2 × … × p^2) + 1　とおいて、平方剰余の　　　相互法則の第1補充法則を使わないとするとどうなるのか。

申し訳ないのですが、この2点に関しては分かりません。

回答No.1

R_Earl

前回3n + 1型素数の質問に回答した者ですが、
私の回答は誤りでした。申し訳ありません。

4n + 1型素数に関しては、合同式(と平方剰余)を利用した証明方法があります。

> 　このあとの矛盾の導き方が見えないので、この流れの証明とすると
> このあとどうなるのか、よろしくお願いします。

k = 4(5 × 13 × … × p) + 1と置くのではなく、
k = 4(5^2 × 13^2 × … × p^2) + 1と置きます。
kの素因数の一つをqと置くと

4(5^2 × 13^2 × … × p^2) + 1 = q × r　(rは整数)

と置けます。
kは5 ～ pの4n + 1型素数では割り切れないので、
qは5 ～ pの4n + 1型素数に含まれない素数となります。
よってqが4n + 1型素数であることを示せば、
「qは5 ～ pの中にはない新たな4n + 1型素数である」と
証明したことになります。

4(5^2 × 13^2 × … × p^2) + 1 = q × rより、
4(5^2 × 13^2 × … × p^2) + 1 ≡ 0 (mod q)が常に成り立ちます。
さらに変形して
4(5^2 × 13^2 × … × p^2) ≡ -1 (mod q)
∴(2 × 5 × 13 × … × p)^2 ≡ -1 (mod q)

平方剰余の相互法則の第1補充法則より、
(2 × 5 × 13 × … × p)^2 ≡ -1 (mod q)が常に成り立つのであれば
qは4n + 1の形となることが言えます。
よってqは、5 ～ pの中にない新たな4n + 1型素数であるということになります。

補足

平方剰余の相互法則の第1補充法則を使うために、２乗しておくのでしょうか。
もし、平方剰余の相互法則の第1補充法則を使わないとするとどのような解答になっていくのか。
　ア　k=4(5×１３×・・×ｐ)＋１とおいてできるのか。
　イ　k = 4(5^2 × 13^2 × … × p^2) + 1　とおいて、平方剰余の　　　相互法則の第1補充法則を使わないとするとどうなるのか。
愚問とは思うか゛、よろしくお願いします。