[ ]はガウス記号を表し、一般に不等式 x-1<[x]≦x および [

質問

[ ]はガウス記号を表し、一般に不等式　x-1<[x]≦x および [x]≦x<x+1　である。
（I）　lim(n→∞)[2*e^n+1]/e^n
自然数nに対し等式　[logk]=n　が成立するような整数kの個数をf(n)とする。このとき以下を求めよ。
（II）　lim(n→∞)f(n)/e^n+1

高校生です。できるだけわかりやすく説明していただければ幸いです。

回答No.2

Kules · ベストアンサー

再びKulesです。
まあはさみうちの存在を知っていればいかにも使ってくれと言わんばかりの式ですよね。
えっと、先ほどの式ちょっと間違ってて、
n<[logk]≦n+1じゃなくてn<logk≦n+1でしたね。
で、e>1よりe^n<k<e^(n+1)となります。
すなわちe^nより大きくてe^(n+1)よりも小さい整数がいくつあるか、ということなんですが、
これは感覚的なお話になってしまう(=解答としてどう書いたらいいかよくわからん)のですが、
e^(n+1)-e^n前後の値をとるだろうということは容易に想像ができます。A=e^(n+1)-e^nとするならば、
例えばA>4なのにf(n)が2以下ということはあり得ませんし、A<5なのにf(n)が6以上ということもないでしょう。
ただし、A>4ならf(n)は絶対4かというとそんなことはありません。例えば下限(今回でいうとe^n)が2.1で上限(今回でいうとe^(n+1))が6.8の時A=4.7で、間の整数は3,4,5,6の４つですが、
下限が2.8、上限が7.5の時Aは同じく4,7ですが間の整数は3,4,5,6,7の５つあることがわかります。
これらのことを考えますと、A-1<f(n)<A+1ぐらいの範囲ではないかと思われます。
ただ、問題の式を見る限りAに±１されたぐらいで収束値が変わるわけもないので、結構粗くとっても
はさみうちは使えそうですね。

問題は上に書いた内容をどうやって数学の答案っぽく起こすかですが(笑)
残念ながら私にはわかりません…もう受験本番であればなんとなく上のようなことを書いたら少なくとも
部分点が全くないということはないと思います。

参考になれば幸いです。

お礼

なるほど分かりました。fnはそうやって考えればいいのですね。ありがとうございました。

回答No.1

Kules

[x]≦x<x+1は [x]≦x<[x]+1のことでしょうか？まあたぶんそんな雰囲気の式ですね。

はさみうちの原理はご存じですかね？
それを使えば(I)はそのままx-1<[x]≦xのxを2*e^n+1に変えてやればよさそうです。
(II)もおそらく考え方は同じで、[logk]≦logk<[logk]+1よりn<[logk]≦n+1となり、f(n)をnを使った不等式で範囲が定められそうなので(I)と同じくはさみうちの原理をつかえば求まりそうです。

以上、参考になれば幸いです。

補足

回答ありがとうございます。実は、はさみうちだということはわかっていて（I）は解けたのですが、（II）はf(n)というものをどうやって書いたら良いのかが分からずてこずってました。
再度質問のような感じになってしまい申し訳ありませんが、f(n)って不等式を用いてどうやって表したらよいのでしょうか？よろしくお願いします。