方程式と不等式

質問

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

(1)xy+x-3y-bx+2ay+2a+3b-2ab-3を因数分解せよ。
(2)x^8+x^6+5x^4+4x^2+4を因数分解せよ。

という問題がわかりませんでした・・・
(1)はxを前に出したり、yを出したりしても全然できません・・・
(2)はずっと考えているんですが、共通するものも浮かばず、うまくいきません・・・

ヒントをください・・
よろしくお願いいたします。

回答No.5

kumipapa

（１）は x, yともに次数は1で、かつ、xy の項がありますので、因数分解できるならば
（x の 1 次式）×（y の 1 次式）
という形が濃厚ですよね。
(x + A)(y + B) = xy + Bx + Ay + AB
を念頭に式をまとめると、
xy+x-3y-bx+2ay+2a+3b-2ab-3
= xy + (1-b)x + (2a-3)y + (2a-3)(1-b)
ですから、A = 2a-3, B = 1-b と考えて、
与式 = (x + 2a - 3) (y - b + 1)

（２）は、与式 = 0 が実数解を持たないことは明らかですね。ですから １次式では割り切れず、２次以上の（実数解を持たない）多項式の積になります。
また、元の式には偶数次の項しかありませんから、
(x^4 + ax^2 + b)(x^4 + cx^2 + d)
か、
(x^2 + a)(x^6 + bx^4 + cx^2 + d)
の形で表せるんじゃないかと考える。そして、 t = x^2 とおいて書き直すと、t にした式 = 0 は実数解を持つ可能性も出てくるので、まあ、うまくできるかもっていう感じでしょうか。

お礼

ありがとうございました
すごく丁寧にしてくださいまして感謝しております。

回答No.4

Meowth

どこに注目すれば
といわれれば、
（１）
ほんとは
xy+x-3y-bx+2ay+2a+3b-2ab-3
最低次で整理　だからa (かb）で整理して
定数項を因数分解
(y-b+1)2a+(x-3)(y-b+1)
=(y-b+1)(2ax+x-3)
（２）とりあえず　x^2=tで考える　　だめだったらまた別に考える

t^4+t^3+5t^2+4t+4=(t^2+4)(t^2+t+1)
は、前半係数が1　後半係数が４　真中が５
に着目すれば
t^4+t^3+t^2+4t^2+4t+4
t^2(t^2+t+1)+4(t^2+t+1)=(t^2+4)((t^2+t+1)
になる。
ｘ＾２をもどしてからは2乗の差をつくるようにする。

x^8+x^6+5x^4+4x^2+4

お礼

ありがとうございました。
感謝しております。

回答No.3

nettiw

xy+x-3y-bx+2ay+2a+3b-2ab-3
=[xy+x-bx]+[2ay-3y+2a+3b-2ab-3]
=(y-b+1)x+[(2ay-3y)+(2a+3b-2ab-3)]
=(y-b+1)x+[(2a-3)y+(2a+3b-2ab-3)]
=(y-b+1)x+[(2a-3)y+(3-2a)b+(2a-3)]
=(y-b+1)x+[(2a-3)y-(2a-3)b+(2a-3)]
=(y-b+1)x+(2a-3)(y-b+1)
=(y-b+1)(x+2a-3)
---
p=(x^8)+(x^6)+5(x^4)+4(x^2)+4
=[(x^8)+(x^6)+(x^4)]+[4(x^4)+4(x^2)+4]
=[(x^4)+(x^2)+1](x^4)+4[(x^4)+(x^2)+1]
=[(x^4)+(x^2)+1][(x^4)+4]
=[{(x^4)+2(x^2)+1}-(x^2)][{(x^4)+4(x^2)+4}-4(x^2)]
=[{((x^2)+1)^2}-(x^2)][{((x^2)+2)^2}-4(x^2)]
=[(x^2)+1+x][(x^2)+1-x][(x^2)+2+2x][(x^2)+2-2x]
=[(x^2)+x+1][(x^2)-x+1][(x^2)+2x+2][(x^2)-2x+2]

(x^2)+x+1=0,, x=[(-1+i√3)/2] ,[(-1-i√3)/2]
(x^2)-x+1=0,,x=[(1+i√3)/2] ,[(1-i√3)/2]
(x^2)+2x+2=0,,x=[-1+i],[-1-i]
(x^2)-2x+2=0,,x=[1+i],[1-i]

p=(x-[(-1+i√3)/2])(x-[(-1-i√3)/2])(x-[(1+i√3)/2])(x-[(1-i√3)/2])
　　(x-[-1+i])(x-[-1-i])(x-[1+i])(x-[1-i])
---

お礼

ありがとうございました。
とても参考になります。

回答No.2

take_5

前の質問で、不定方程式が多分わからないだろうから別解を書き込もうとしたら、既に締め切られていた後だった。。。。。苦笑
丁度いい機会なので別解を書いておく。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3843674.html

55という数字が邪魔なので消してしまおう。

4x＋3y-55＝4（x-25）＋3（y+15）＝0と変形できる。
そこで、25-x＝a、y+15＝bとすると、4a＝3b‥‥(1)
1≦x≦20、1≦y≦20から、1≦25-a≦20、1≦b-15≦20であるから、16≦b≦35‥‥(2). 5≦a≦24‥‥(3).
(3)に(1)を代入すると6≦b≦32‥‥(4).　そして、(3)と(4)から結局16≦b≦32‥‥(5)
又、(1)より3と4とは互いに素からbは4の倍数であるから、(5)の範囲でb＝16、20、24、28、32.　よって、（ウ）＝5個。

次に、x＝25-a＝25-（3/4）b、y＝b-15であるから、4xy＝-3（b-145/6）＾2＋3025／12となる。‥‥(6)
この2次関数は上に凸で、軸＝145/6≒24.17であるから、(5)より両端のb＝16、or、32のどちらかで最小となる。
どちらが最小かは(6)に代入して実際に計算すると、
b＝32、つまりa＝24のとき、xy＝17。　b＝16、つまりa＝12のとき、xy＝13である。したがって、xy≧13、このとき、x＝13、y＝1.

お礼

ありがとうございました☆
別解もとっても参考になりました！
あわせて感謝いたします＾＾

回答No.1

Meowth

xy+x-3y-bx+2ay+2a+3b-2ab-3
=xy+(1-b)x+(2a-3)y+(2a-3)(1-b)
=(x+2a-3)(y-b+1)

x^2=t
t^4+t^3+5t^2+4t+4
=(t^2+4)(t^2+t+1)
=(t^2+4t+4-4t)(t^2+2t+1-t)
={(t+2)^2-4t}{(t+1)^2-t}
={(x^2+2)^2-4x^2}{(x^2+1)^2-1}
=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)(x^2-x+1)(x^2+x+1)

お礼

ありがとうございます。
まず、このような問題はどこに注目すればいいのでしょうか？