e^(3t+8t^2)が確率変数Xの積率母関数ならばP(-1<X<9)を求めよ

質問

次の問題が解けずに困っています。

[問]もしe^(3t+8t^2)が確率変数Xの積率母関数ならばP(-1<X<9)を求めよ。
[解]
f(t):=e^(3t+8t^2)と置くと,
f'(t)=(3+16t)e^(3t+8t^2),
f"(t)=(3+16t)^2e^(3t+8t^2)+16e^(3t+8t^2)
からf'(0)=3,f"(0)=25
よって E(X)=4,E(X^2)=25
これから先に進めません。どうすればいいのでしょうか?

尚,積率母関数とは
ある正の数t_0が存在して全てのt∈(-t_0,t_0)に対し,e^(tX)の期待値が存在するな
らばXの積率母関数をM_X(t):=E(e^tX) で定義する
というものだと思います。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

＞> そうしたら、P(-1＜X＜-9) = P(μ-σ＜X＜μ+1.5σ) であることを理解する。
＞　すいません。この1.5は何処から来たのでしょうか?
いやー、度重なる誤記、ごめんね。
求めるのは P(-1＜X＜-9）じゃなくて、P(－１＜X＜9）ですね。
正規分布ですから、P(－１＜X＜9） を P(μ-aσ ＜ X ＜ μ+bσ) の形に表せれば、あとは正規分布表から確率は求められますよね。
ここで、平均 μ が 3 、標準偏差σ が 4 と分かっているので、
-1 = μ - σ
9 = μ + 1.5σ
ですから、P(-1＜X＜9) = P(μ-σ＜X＜μ+1.5σ) です。ということで、求める確率は、X が平均-σ から平均+1.5σの範囲に入る確率で、正規分布表から拾い出して計算します。

お礼

>＞> そうしたら、P(-1＜X＜-9) = P(μ-σ＜X＜μ+1.5σ) であることを理解する。
>＞　すいません。この1.5は何処から来たのでしょうか?
：
> は、X が平均-σ から平均+1.5σの範囲に入る確率で、正規分布表から拾い出して計
> 算します。

どうも有り難うございました。
お陰様で理解できました。

回答No.2

kumipapa

#1 誤記訂正です。

誤　教科書で積分布の積率母関数の形を調べる。
正　教科書で正規分布の積率母関数の形を調べる。

誤（これはすでに計算済みで平均 μ = 3,分散 σ^2 = 4ですね）
正（これはすでに計算済みで平均 μ = 3,分散 σ^2 = 16, σ = 4 ですね）

以上です。

お礼

ご回答有難うございます。

> そうしたら、P(-1＜X＜-9) = P(μ-σ＜X＜μ+1.5σ) であることを理解する。
すいません。この1.5は何処から来たのでしょうか?

回答No.1

kumipapa

＞　e^(3t+8t^2)が確率変数Xの積率母関数
この積率母関数は何分布の積率母関数ですか？
正規分布の積率母関数です。
ここから先はご自分でどうぞ。

手順は、
教科書で積分布の積率母関数の形を調べる。
与えられた積率母関数から、正規分布の平均値と分散を拾う。
（これはすでに計算済みで平均 μ = 3,分散 σ^2 = 4ですね）
そうしたら、P(-1＜X＜-9) = P(μ-σ＜X＜μ+1.5σ) であることを理解する。
さらに、P(μ-σ＜X＜μ+1.5σ) = P(μ-σ＜X＜μ) + P(μ＜X＜μ+1.5σ)であることを思い出す。
正規分布表から P(μ-σ＜X＜μ) = 0.3413, P(μ＜X＜μ+1.5σ) = 0.4332 であることを拾い出す。
最後にそれらを足して P(-1＜X＜-9) = 0.3413+0.4332 = 0.7745 を得る
おわりです。