確率変数を作ることはできますか？

質問

よいタイトルが思い浮かびませんでしたが、問題になっているのは、
「与えられた分布関数に等しい確率変数が存在するか」
ということです。より詳しくいいますと、

(Ω,F,P)を確率空間として、{X_n}を独立確率変数列とします。
このとき独立確率変数列{Y_n}で、各Y_nの分布関数がX_nに一致し、
しかもY_nは{X_k}のいずれとも独立であるものが存在するのか？

という問題です。教科書を読んでいたら、何の説明もなし、
こういう確率変数を取ってきて話が進んで行ってしまったのですが、
実際に取れるのかどうかは、標本空間の性質とかに依存したり
しないのかとか、いろいろ心配が出てきました。
ちょっと手がかりがつかめず困っているので、
教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

noname#108554

2003年11月号数学セミナー 特集「コルモゴルフの数学」の中の、
「大数の法則」という記事の中のp.18右側によると、

任意の分布をもつ独立変数列は、測度空間([0,1),Β[0,1),μ)－以下、ルベーグ空間と呼ぶ－上に構成できる。だから、非可算個の独立確率変数族を考えるというようなマニアックな場合を除けば、ルベーグ空間上であらゆる確率的議論が可能なのである。

だそうです。

と、ここまで書いて気づいたのですが、adinatさんの質問は、
「与えられた分布関数に対して、独立確率変数が存在するかどうか?」
ではなくて、
「独立確率変数列{Y_n}で、各Y_nの分布関数がX_nに一致し、
しかもY_nは{X_k}のいずれとも独立であるものが存在するのか？」
ですから、独立確率変数の存在は仮定されてるんですね。

ってことで、私の回答は間違ってるので気にしないで下さい。
せっかく書いたので、載せますけど。

お礼

お礼、大変遅くなって申し訳ありませんでした。やはりある程度まともな測度空間を考えないと、物事はややこしくなりそうです。数セミの記事、参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

noname#108554

この質問は、実際に計算機上で、与えられた確率分布に従うような、
しかも、independentな乱数を作るにはどうすればよいのか?
ということでしょうか?

それなら、逆関数法というのがあります。
参考URLをどうぞ。

あるいは、もっと抽象的に、
「与えられた確率分布に従い、しかも、independentな乱数」の
存在証明ということですか?

私の理解だと、数学的にはそういうものがあるものとして
公理化されているようです。
詳しいことは知りませんが。

参考URL：

http://www.murata.elec.waseda.ac.jp/~mura/lecture/stat/note/node21.html

お礼

どうもありがとうございます。問題にしているのは後者です。
考えれば考えるほど気分が滅入ってきますが、定数関数は必ず確率変数になるので、最悪、連続濃度ぐらいの確率変数はいつでも存在します。だけど、そこにある関数はみな従属です（0以外はすべて定数倍になるから）。それで、たとえば可算個の独立な確率変数が与えられているとき、そこにあとひとつでも新たな確率変数を持ってきたら、もはやそれは独立ではなくなってしまう、という状況がある場合に起きるような気がするのです。そういうことは問題にせず、十分たくさんの乱数が初めから存在すると仮定するのかどうかが気になっております。