確率変数Xの積率母関数がe^(4(e^t-1))である。P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.931を示せ

質問

証明問題で疑問があります。

[問]確率変数Xの積率母関数がe^(4(e^t-1))である。P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.931を示せ。

[解] f(t):=e^(4(e^t-1))と置くと,
f'(t)=4e^te^(4(e^t-1)),f"(t)=16e^(2t)e^(4(e^t-1))+4e^te^(4(e^t-1))
からf'(0)=4,f"(0)=20
よって E(X)=4,E(X^2)=20
これから P(4-2・2<X<4+2・2)=P(0<X<8)=P(1≦X≦7)
から先に進めません。どうすればいいのでしょうか?

回答No.3

PRFRD · ベストアンサー

> P(1≦X≦7)=P(X=7)-P(X=1)

これがダメです．こんな等式は成立しません．
（確率が負になった時点で何か変だと気づきましょう）

　P(1≦X≦7) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
なので
　(4^1/1! + 4^2/2! + 4^3/3! + 4^4/4! + 4^5/5! + 4^6/6! + 4^7/7!) e^{-4}
を計算することになります．まじめに計算すると 0.9305... になります．

お礼

> 　P(1≦X≦7) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
> なので
> 　(4^1/1! + 4^2/2! + 4^3/3! + 4^4/4! + 4^5/5! + 4^6/6! + 4^7/7!) e^{-4}
> を計算することになります．まじめに計算すると 0.9305... になります．

このように計算するのですね。とても勉強になります。
お陰様で一歩前進できました。

回答No.2

kumipapa

平均μのポアソン分布の積率母関数　E(e^(tX)) = e^{-μ(1-e^t)}
ですから、与えられた積率母関数は、平均 μ = 4 のポアソン分布の積率母関数です。
分散 σ^2 = μ = 4 ですから、σ = 2

P(X=i) = {4^i / (i!)} e^(-4) から P(0＜X＜8) を計算すれば 0.9305...

本来、積率母関数というのは分布関数を求めるためのものではないので、この積率母関数の形をみて、ポアソン分布だと分かりますか？という問題なんだろうと思います。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> 分散 σ^2 = μ = 4 ですから、σ = 2
> P(X=i) = {4^i / (i!)} e^(-4) から P(0＜X＜8) を計算すれば 0.9305...

えーと、
P(0<X<8)=P(1≦X≦7)=P(X=7)-P(X=1)=
4^7/7!e^-4-4^1/1!e^-4=16384/5040/54.59800313096579789056-4/1/54.59800313096579789056
=-0.013727885227819941596716763721082

となってしまったのですが何処が間違っていますでしょうか?

回答No.1

mellow91

この手の問題はhatenaの人力でポイント高めで質問すると返事返ってくる可能性高いです。