負の二項分布の積率母関数

質問

負の二項分布の積率母関数がわかりません（＞＜；）
二項分布の積率母関数だとM(t)＝（pe^t＋(1-p)）^m　と表せますよね？？こんな風に負の二項分布の積率母関数も表せないでしょうか？？
独立な確率変数X、Yに関して、再生性を証明したいのですが・・・
どなたかよろしくお願いします！！m(_ _)m

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

独立同一の幾何分布にしたがう確率変数の和の確率分布が負の二項分布でした。だから再生性はほとんど自明ですが、せっかくだから。。。

幾何分布の確率関数f(x)=p(1-p)^(x-1)　（x≧1)
積率母関数M(t)=E[e^(xt)]
=Σp(1-p)^(x-1)*e^(xt)
=Σ(pe^t)*((1-p)e^t)^(x-1)
=(pe^t)/(1-(1-p)e^t)

よって、負の二項分布(n,p)の積率母関数は
E[e^(xt)]={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n

ついでに、この式から確率関数が求められて、
M(t)={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n
=p^n*e^nt*Σ(-1)^k*C[-n,k]*(1-p)^k*e^kt　　(k=0,1,2,...)
=Σ(-1)^k*C[-n,k]*p^n*(1-p)^k*e^((n+k)t)　 （C[-n,k]は一般の二項係数）
=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(1-p)^(x-n)*e^(xt)　 （x=n+k)
∴f(x)=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(-1+p)^(x-n)　　(x=n,n+1,n+2,...)
となる。二項係数を
C[-n,x-n]=(-n)(-n-1)…(-x+1)/(x-n)!
=(-1)^(x-n)*C[x-1,n-1]
と変形すると、見慣れた式になる。
f(x)=ΣC[x-1,n-1]*p^n*(1-p)^(x-n)　　(x=n,n+1,n+2,...)

お礼

早速の回答ありがとうございます！！とてもわかりやすかったです。他に微妙にわかってなかったところもはっきりしました。ありがとうございます＾＾*