マクローリン展開と、積率母関数

質問

たしか高校でも習う、微積分のマクローリン展開の式と、

積率母関数（ｍ.ｇ.ｆ.）（n回微分して、変数をゼロと置くと、原点まわりのn次の積率になるもの）の式とが、

まるで、そっくりですが、なぜでしょうか？
この両者は、同じものなのですか？

解析も確率・統計も、まるで自己流の独学なので、
何だか、数学の神秘を感じて驚いております。

回答No.1

gef00675 · ベストアンサー

マクローリン展開は、関数が与えられたとき、その関数をべき級数で表す式でした。
積率母関数は、変数をθで表すと
　M(θ)=E[exp(θx)]
と定義されています。expのマクローリン展開を用いると
　　=1+m1θ+m2θ^2/2!+…
の形に表され、このとき係数mkはk次の積率に一致するというものでした。マクローリン展開の特別の場合といってしまえばそれまでですが、こういうものを考えたのには、それなりの理由があります。
　確率の応用では、平均や分散などの積率を求めることが必要です。積率を個別の式で表してみても見通しが悪いので、適当な関数を使って一個の式で表してしまおう、というのが積率母関数です。このアイデアはラプラスが考案しました。
　積率母関数では、関数の値ではなく式の形に注目します。また、原点の周りでの展開ができさえすればよく、関数の値や収束半径は通常、問題にされません。一方、解析学ではマクローリン展開は関数の近似に使われていましたから、その辺の意味合いというか、用途が違っているような気がします。
　ついでにいうと、積率母関数が決まらない確率分布もあるので、代わりに、特性関数
　φ(θ)=E[exp(iθx)]　（i=√(-1))
を用いることもあります。これは、解析学でいうフーリエ変換にあたります。

お礼

>マクローリン展開の特別の場合

・・・う～ん、なるほど。指数関数のマクローリン展開を、
平均（原点まわりの1次の積率）・分散（平均値まわりの2次の積率）を求めるために使ったのですね？
3次以上の積率は、私にはイメージできませんが、歪み・尖りetc.でしょうか？確率変数を、わざわざ二乗して分散を作るのは、正の値にするためだと聞きました。
4次の積率は、きっとそうして使われているのか？と思います。

考えてみれば、独立な確率変数の
和の分布が、ｍ.ｇ.ｆ.の積になるのも、指数関数だから当り前ですね。
う～ん・・・、ナゾが解けてみると、あっけらかんとして、
疑問は解消したのですが、ワクワク感も消えて、うう～んという感じです。（確率と解析の、ひも理論のような合体かと思っていました）

ありがとうございました。感謝しております。
複素数を、まるで理解していないので、ずっと前から買おうと思っていた、小寺平治「明解演習 線形代数」を、楽しみながら読もうと思います。
ずっと悩んでいる数学の疑問が、いくつかありますので、
またぜひ、ご教示いただければ幸甚です。