もし,確率変数Xの積率母関数が(1/3+2e^t/3)^5ならばP(X=2 or 3)の値

質問

度々スイマセン。

[問]もし,確率変数Xの積率母関数が(1/3+2e^t/3)^5ならばP(X=2 or 3)の値を求めよ。
という問題が分かりせん。どのようにして解けばいいのでしょうか?

積率母関数とは
ある正の数t_0が存在して全てのt∈(-t_0,t_0)に対し,e^(tX)の期待値が存在するならばXの積率母関数をM_X(t):=E(e^tX) で定義する
というものだと思います。

回答No.1

noname#50894 · ベストアンサー

>積率母関数とは
>:
>というものだと思います。
最低限、定義を把握してから質問されるべきで、
この前提が崩れると、回答者の回答は全て無意味になることがあります。
更に、ここまで考えたけれどわからなかった、という努力の痕跡が伺えた方が良いと思います。
…この原則を守っていないせいなのか、私は判断基準を理解しきれていませんが、
いつの間にか、消えている質問が良くあります。

確率分布と積率母関数の間には一対一の関係があり、
二項分布B(n,p)【P(X=k)=nＣk(p^k){(1-p)^(n-k)}】【k=0,1,…,n】
に従う確率変Xの積率母関数は、g(t)={p*e^t+(1-p)}^n
であり、逆も成立します。

このことから、P(X=2)，P(X=3)値は確定します。

お礼

> 更に、ここまで考えたけれどわからなかった、
> という努力の痕跡が伺えた方が良いと
> 思います。
> …この原則を守っていないせいなのか、
> 私は判断基準を理解しきれていませんが、
> いつの間にか、消えている質問が良くあります。

すいません。一応,定義は調べてみたのですが正直,積率母関数の概念がいまいち把握できておりませんでした。

> 確率分布と積率母関数の間には一対一の関係があり、
> 二項分布B(n,p)【P(X=k)=nＣk(p^k){(1-p)^(n-k)}】【k=0,1,…,n】
> に従う確率変Xの積率母関数は、g(t)={p*e^t+(1-p)}^n
> であり、逆も成立します。
>
> このことから、P(X=2)，P(X=3)値は確定します。

有難うございます。
えーと,p=2/3,n=5だから
P(X=2)=5C2(2/3)^2(1-2/3)^(5-2),
P(X=3)=5C3(2/3)^3(1-2/3)^(5-3)
となるのですね。しっかりと憶えて置きます。