積分を含む証明

質問

X > 1の時、
A = ∫(x から x + (ln(x) / 2x)) e^(t^2) dt
B = (e^(x^2)*ln(x)) / 2x
とすると、

A > B

ということが分かっているんですが、証明がうまくできません。
e^(t^2)を積分しようとしても行き詰ってしまいました。どなたか分かりやすく説明してくれませんか？

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

t ＞ x ＞ 1 において、
e^(t^2) ＞ e^(x^2) ＞ 0
ですよね。ですから、
∫(x,x+(ln(x)/2x)) （e^(t^2) - e^(x^2)) dt　＞ 0
⇔　∫(x,x+(ln(x)/2x)) e^(t^2) dt - ∫(x,x+(ln(x)/2x) e^(x^2) dt ＞ 0
（右側の積分において e^(x^2) は定数である）
⇔　A - e^(x^2)(ln(x) / 2x) ＞ 0
⇔　A - B ＞ 0

グラフ y = e^(t^2) をざっと書くと、そのグラフにおいて、t=x ～ t=x+ln(x)/2x の面積がＡ。そのＡの中の t=x におけるyの値e^(x^2)を高さとする長方形の面積がＢなのだから、Ａ＞Ｂ ということでしょう。

回答No.1

arrysthmia

Aの積分を実行したくなければ、

x=1 のとき A-B=0 と
x>1 のとき (d/dx)(A-B)>0 から、

A-B>0 を示してはどうでしょうか。