積分について質問があります。

質問

こんにちは。見ていただきありがとうございます。

∫sin(logx)dxという問題と解いているのですが、積分ができません。どなたか分かる方いらっしゃらないでしょうか？

logx=tとおく。

x=e^t
dx=x*dt　より

∫e^t*sin(ｔ)dt
となるまでは、分かりました。

そのあとの積分なのですが、解答見てもよくわかりません。

(1/2)*e^t*sin(t)-(1/2)e^t*cos(t)+c

と書いてあります。
どの公式を当てはめたら、この答えが導き出せるのでしょうか?よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

単に部分積分を2回すると元の積分が出てきますので元の積分をIとおいて、Iについて解けば積分が求まります。
定石として「e^x*cos(t)」とあわせて、求め方を覚えておきましょう。

>I=∫e^t*sin(t)dt
=e^t*sin(t)-∫e^t*cos(t)dt
=e^t*sin(t)-{e^t*cos(t)+∫e^t*sin(t)dt}
=e^t*sin(t)-e^t*cos(t)-I+2c
Iを左辺に移項して
2I=e^t*sin(t)-e^t*cos(t)+2c
∴I=(1/2)e^t*sin(t)-(1/2)e^t*cos(t)+c

回答No.2

do_ra_ne_ko

e^t　sin t 　という積を ｔ で微分してみてください。
d（f＊g）/dt ＝ｆ’ｇ＋ｆ ｇ’ はご存じでしょう。　

　ｄ(e^tsin t)/dt＝　e^t sin t　＋　e^t cos t

　これを t で積分して下さい。

　　e^t sin t　＝　∫(e^t sin t) dt ＋∫(e^t cos t) dt

つまり

　　　∫(e^t sin t) dt ＝ e^t sin t － ∫(e^t cos t) dt　・・・・・・（１）

こんどは、e^t cos t について同じことをします。

　　　e^t cos t　＝　∫(e^t cos t) dt －∫(e^t sin t) dt

つまり
　　　　∫(e^t sin t) dt　＝ － e^t cos t ＋ ∫(e^t cos t) dt　・・・・・・（2）

　(1)＋(2)　を作って面倒な右辺の積分を消去すれば、

　　　　　　∫(e^t sin t) dt ＝(1/2) { e^t sin t － e^t cos t }・・・・・・・（３）

ここで安心しては駄目です。
　logx=t　としたのを忘れてはだめです。
従って、「　ｔ　を logx を使って書き直してもよいが、その必要はあるまい」
と記して、積分定数　Ｃを　（３）に加えておけばよい。