積分が解けません

質問

RLC回路の過渡現象を解いてたら、
コンデンサ電圧を求めるときに、
a,bと定数として、
∫e^(-at)sinh(bt)dt　[0,t]
∫e^(-at)sin(bt)dt　[0,t]
という積分がでてきたのですが、
どうしても積分できません。
どなたか教えてくれませんか？

回答No.5

nettiw

不定積分のみ書きます。積分定数は省略します。
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前半。

　　　（Ｐ１）　(A^2)≠(B^2)、A≠０ のときは、
S=∫(e^(-At))sinh(Bt)dt
=(-1/A)(e^(-At))sinh(Bt)+(B/A)∫(e^(-At))cosh(Bt)dt

T=∫(e^(-At))cosh(Bt)dt
=(-1/A)(e^(-At))cosh(Bt)+(B/A)∫((e^(-At))sinh(Bt)dt

S=(-1/A)(e^(-At))sinh(Bt)+(B/A)T
T=(-1/A)(e^(-At))cosh(Bt)+(B/A)S

S*(A^2)=-A(e^(-At))sinh(Bt)+AB*T
S*(A^2)=-A(e^(-At))sinh(Bt)+AB*[(-1/A)(e^(-At))cosh(Bt)+(B/A)S]
S*(A^2)=-A(e^(-At))sinh(Bt)-B(e^(-At))cosh(Bt)+(B^2)*S
S*[(A^2)-(B^2)]=-(e^(-At))[Asinh(Bt)+Bcosh(Bt)]
S=-【(e^(-At))[Asinh(Bt)+Bcosh(Bt)]】/[(A^2)-(B^2)]

　　　（Ｐ１）’　A＝０、B≠０のときは、
S=∫sinh(Bt)dt=(cosh(Bt)/B で、（Ｐ１）に一致。

　　＊＊＊　　　

　　　（Ｐ３）　A＝B≠０のときは、
S=∫(e^(-At))sinh(At)dt
=(1/2)∫(e^(-At))[(e^(At))-(e^(-At))]dt
=(1/2)∫[1-(e^(-2At))]dt
=(1/2)t+(1/2)(1/2A)(e^(-2At))
=(1/2)t+(1/4A)(e^(-2At))

　　　（Ｐ３）’ A＝-B≠０のときは、
S=∫(e^(-At))sinh(-At)dt
=(1/2)∫(e^(-At))[(e^(-At))-(e^(At))]dt
=(1/2)∫[(e^(-2At))-1]dt
=(1/2)(-1/2A)(e^(-2At))-(1/2)t
=-(1/4A)(e^(-2At))-(1/2)t

　　　（Ｐ３）’’　A＝B＝０のときは定数。
-------------
後半。

（Ｑ）　A≠０　のときは、
S=∫(e^(-At))sin(Bt)dt
=(-1/A)(e^(-At))sin(Bt)+(B/A)∫(e^(-At))cos(Bt)dt

T=∫(e^(-At))cos(Bt)dt
=(-1/A)(e^(-At))cos(Bt)-(B/A)∫((e^(-At))sin(Bt)dt

S=(-1/A)(e^(-At))sin(Bt)+(B/A)T
T=(-1/A)(e^(-At))cos(Bt)-(B/A)S

S*(A^2)=-A(e^(-At))sin(Bt)+AB*T
S*(A^2)=-A(e^(-At))sin(Bt)+AB*[(-1/A)(e^(-At))cos(Bt)-(B/A)S]
S*(A^2)=-A(e^(-At))sin(Bt)+B(e^(-At))cos(Bt)-(B^2)*S
S*[(A^2)+(B^2)]=-(e^(-At))[Asin(Bt)+Bcos(Bt)]
S=-【(e^(-At))[Asin(Bt)+Bcos(Bt)]】/[(A^2)+(B^2)]

（Ｑ）’　　A＝０、B≠０のときは、
S=∫sin(Bt)dt=(-1/B)cos(Bt) で（Ｑ）に一致。

（Ｑ）’’　A＝０、B＝０のときは定数。

回答No.4

Meowth

∫e^(-at)sin(bt)dt　[0,t]
e^(-at)sin(bt)=e^(-at) (e^ibt-e^-ibt)/2i
= {e^(ib-a)t-e^-(ib+a)t}/2i
∫e^(-at)sin(bt)dt　[0,t]
={[e^((ib-a)t)-1]/(ib-a)+[e^(-(ib+a)t)-1]/(ib+a)}/2i
=e^(-at){-e^(ibt)*(ib+a)+e^(-ibt)*(-ib+a)}/2i/(a^2+b^2)
+{(ib+a)-(-ib+a)}/2i/(a^2+b^2)
=e^(-at){-a[e^(ibt)*(a)-e^(-ibt)]/2i
-b[e^(ibt)+e^(-ibt)]/2}/(a^2+b^2)+b/(a^2+b^2)
=e^(-at)*(-a*sin(bt)-b*cos(bt))/(a^2+b^2)+b/(a^2+b^2)

回答No.3

Meowth

e^(-at)sinh(bt)=e^(-at) (e^bt-e^-bt)/2
= {e^(b-a)t-e^-(b+a)t}/2
a+b<>0 a-b<>0のとき
∫e^(-at)sinh(bt)dt　[0,t]=
{[e^((b-a)t)-1]/(b-a)+[e^(-(b+a)t)-1]/(b+a)}/2
a+b=0のとき後半は定数
e^(-at)sinh(bt)={e^(b-a)t-e^-(b+a)t}/2= {e^(b-a)t-1}/2
∫e^(-at)sinh(bt)dt　[0,t]={e^(b-a)t/(b-a)-t}/2[0,t]
=({e^(b-a)t-1}/(b-a)-t)/2
a-b=0のとき前半は定数
e^(-at)sinh(bt)= {1-e^-(b+a)t}/2
∫e^(-at)sinh(bt)dt　[0,t]=({e^(b+a)t-1}/(b-a)+t)/2

回答No.2

age_momo

一つ目
sinh(x)={e^(x)-e^(-x)}/2
だと知ってますか？知っていればさすがに積分できると思いますが。。。

二つ目
不定積分I=∫e^(x)sin(x)dxは2度部分積分すると戻ります。
I=∫e^(x)sin(x)dx=e^(x)sin(x)-∫e^(x)cos(x)dx
=e^(x)sin(x)-e^(x)cos(x)-∫e^(x)sin(x)dx=e^(x)sin(x)-e^(x)cos(x)-I
∴2I=e^(x)sin(x)-e^(x)cos(x)
I={e^(x)sin(x)-e^(x)cos(x)}/2
これを応用すれば解けますし、結局
∫e^(-at)sin(bt)dt=ke^(-at)sin(bt)+me^(-at)cos(bt) (+C)
となるので右辺を微分してみてe^(-at)sin(bt)の係数が1、e^(-at)cos(bt)の係数が0になるように
k,mを決めれば良いと思います。

回答No.1

Tacosan

えと....
上が積分できないのはどうかしてると思う.
下も結構普通の形だと思う.
ところで, あなたはどのように処理しようとしたんでしょうか?