積分

質問

0<a<b,0<Mのとき、D={(t,x)|0<=t<=M,a<=x<=b}に対して、
∬((e^(-at)-e(-bt))/t)dt
を教えてください。

回答No.3

hugen · ベストアンサー

∫[0,M]e^(-tx)dt=(1-e^(-Mx))/x
∫[a,b]dx∫[0,M]e^(-tx)dt=∫[a,b]dx/x-∫[a,b]e^(-Mx)/x*dx
∫[a,b]e^(-Mx)/x*dx＜∫[a,b]e^(-Ma)/a*dx=(b-a)e^(-Ma)/a　→　0
lim[M→∞]∫[0,M]dt∫[a,b]e^(-tx)dx=∫[a,b]dx/x

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足の訂正について

>0<a<b,0<Mのとき、D={(t,x)|0<=t<=M,a<=x<=b}
>∬_D e＾(－et)dxdt=
>∫[0から+∞]((e^(-at)-e＾(-bt))/t)dt
この式変形はできません。
まだ間違ってるようです。

正しいと思われる式に修正すると
　∬_D e＾(-xt)dxdt
　=∫[0,M] dt∫[a,b] e^(-xt)dx
　=∫[0,M] dt [-(e^(-xt))/t] [a,b]
　=∫[0,M] (e^(-at)-e＾(-bt))/t dt

ここからは指数(関数)積分になりこのタイプの積分は初等関数の範囲では積分できないと思います。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html

補足

たびたびすいません。私のミスで、二重積分が、

∬＿D(e＾(－xt)dxdt)でした。
そのあとで、それを利用したtの積分でした。

本当にすいません。

宜しくお願いします。

回答No.1

info22_

積分変数がtだけなのに、積分領域Dの中に変数xの式がありますが、xは積分に無関係では？
問題が違ってないか、確認して下さい。

補足

すいません確かに間違いでした。
∬＿D(e＾(－et)dxdt)でした。
それを利用して、∫[0から+∞]((e^(-at)-e＾(-
bt))/t)dt
を求めるものでした。
すいません
宜しくお願いします。