複素関数の積分の定理の証明です。

質問

複素関数の積分の定理の証明です。

?∫(a→b)ξ(t)dt?≦∫(a→b)?ξ(t)?dt　の証明で、私の本には、以下の通りでした。
∫(a→b)ξ(t)dt =?∫(a→b)ξ(t)dt?(eのiθ乗)とおける。この両辺に(eの-iθ乗)をかける。
また、ξ(t)=?ξ(t)?(eのiφ乗)とおくと、
?∫(a→b)ξ(t)dt?=(eの-iθ乗)∫(a→b)ξ(t)dt=∫(a→b)｛eのi(φ-θ)乗｝?ξ(t)?dt　となる。とありました。

私は、ここまでは、納得できるのですが、次は、

eのi(φ-θ)乗=cos(φ-θ)+isin(φ-θ)と変形し、実数条件のため、isin(φ-θ)=0とし、
?∫(a→b)ξ(t)dt?=∫(a→b)cos(φ-θ)?ξ(t)?dt ≦ ∫(a→b)?ξ(t)?dt 　となっております。
実数条件で正弦が０なら、複素数の範囲でも、余弦は、1 or -1にしかならないかと。また、絶対値ですから、実数といっても、負ではないので、余弦は、1にしかならないのではないかと思えるんですね。そうすると、?∫(a→b)ξ(t)dt?＝∫(a→b)?ξ(t)?dt　ではないかと。

私の考えのどこがまちがっているのでしょうか？

回答No.1

noname#152421 · ベストアンサー

文字化けしていて何が何やら・・・と思いましたが、化けているのは絶対値の記号ですか？
もしそうなら、パイプ文字（"|"）がお勧めですよ。

さて、

> 私の考えのどこがまちがっているのでしょうか？

φがtに依存することを見落としているようです。

お礼

回答ありがとうございました。
「φがtに依存する」から、と言われてもわかりませんでしたが、
muturajcp様の回答を読み納得できました。

回答No.2

muturajcp

「実数条件のため、isin(φ-θ)=0」が間違っています。正しくは
「実数条件のため、i∫_{a～b}sin(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt=0」です

∫_{a～b}ξ(t)dt=|∫_{a～b}ξ(t)dt|(e^{iθ})とおける
ξ(t)=|ξ(t)|(e^{iφ(t)})とおくと
|∫_{a～b}ξ(t)dt|
=(e^{-iθ})∫_{a～b}ξ(t)dt
=∫_{a～b}{e^{i(φ(t)-θ)}}|ξ(t)|dt
e^{i(φ(t)-θ)}=cos(φ(t)-θ)+icos(φ(t)-θ) だから
|∫_{a～b}ξ(t)dt|
=∫_{a～b}cos(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt+i∫_{a～b}sin(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt
|∫_{a～b}ξ(t)dt|は実数だから
∫_{a～b}sin(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt=0 だから
|∫_{a～b}ξ(t)dt|=∫_{a～b}cos(φ(t)-θ)|ξ(t)|dt≦∫_{a～b}|ξ(t)|dt

お礼

回答ありがとうございました。
納得できましたが、
私が間違っているのではなく、本が間違っていたんですね。

「実数条件のため、isin(φ-θ)=0」は、本の解説にあったんです。そのくせ、「|cos(φ-θ)≦|」とあったので、複素数の範囲ではsinz=0 |cosz|≠1があり得たっけ？となり、
しかし、どう考えたって、あり得ない。本は第３版だから、自分が気づくような間違いはないだろうと考え、本の間違いを探すという発想が浮かびませんでした。浮かんでも、間違えを見つけられなかったと思いますが。