定積分と微分の関係？

質問

F(x)=∫f(t)dt　(定積分の区間は下端a、上端x)⇔F'(x)=f(x)かつF(a)=0 を証明する。

（→）d/dx・∫f(t)dt　(定積分の区間は下端a、上端x）=f(x) かつF(a)=∫ｆ(t)dt　(定積分の区間は下端a、上端a)=0　　であるから容易に証明される。
（←）F'(x)=f(x)であるからF(x)は不定積分の1つであり
　　∫f(x)dx=F(x)+C(Cは積分定数）
またF(a)=0であるから
　∫f(t)dt　(定積分の区間は下端a、上端x)=[F(t)] (定積分の区間は下端a、上端x)=F(x)-F(a)=F(x) よって証明された。　　とかいてあったのですがどういう意味なのかわからないんです！！　　教えてください！！

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

#１、#２です。

＞[F(x)]のところは[F(t)]で・・すよね？？
そうです。[F(t)]です。すいません。

(→)については分かったのでしょうか?
#２の７行目からの証明は教科書に載っていませんか?

回答No.2

eatern27

#1です。
前の説明では分かりにくかったかな？
微分と積分が全く逆の操作だというのは分かりますか？
f(x)を積分して微分するとf(x)になります。
f(x)を微分して積分するとf(x)になります。(正確には"＋C"が付きます)

d/dx・∫f(t)dt(下端a、上端x)＝f(x)となります。
証明
f(x)の不定積分の一つをg(x)とすると
∫f(t)dt(下端a、上端x)=[g(x)](下端a、上端x)=g(x)-g(a)
この両辺をxで微分すると
d/dx・∫f(t)dt(下端a、上端x)＝d/dx・{g(x)-g(a)}=g'(x)=f(x)
g(a)は定数だから、{g(a)}'=0で、f(x)の不定積分の1つがg(x)だから、g(x)を微分するとf(x)になります。(f(x)を積分して微分している)
よって
d/dx・∫f(t)dt(下端a、上端x)＝f(x)が成り立つ。・・・(*)

質問の場合に戻ります。
(→)
F(x)=∫f(t)dt　(下端a、上端x)
この両辺をxで微分すると
F'(x)=d/dx・ ∫f(t)dt　(下端a、上端x)
となります。(*)より
F'(x)=d/dx・ ∫f(t)dt　(下端a、上端x)=f(x)
すなわち
F'(x)=f(x)
また、F(a)=∫f(t)dt　(下端a、上端a)=0
これは教科書にも載っているでしょう

(←)
F'(x)=f(x)
これをaからxまで積分して
F(x)-F(a)=∫f(t)dt(下端a、上端x)
F(a)=0だから
F(x)=∫f(t)dt(下端a、上端x)

先ほどとたいした違いはありませんが、どのくらい理解できました？

補足

(←)の方は＃1がよりわかりやすかったのでそっちのほうで理解しようと思うのですが、
>∫F'(t)dt(下端a、上端x)=[F(x)](下端a、上端x)=F(x)-F(a) F(a)=0　　　　の[F(x)]のところは[F(t)]で・・すよね？？

回答No.1

eatern27

（→）
f(t)=g'(t)とすると
F(x)=∫f(t)dt(下端a、上端x)=∫g'(t)dt(下端a、上端x)=g(x)-g(a) これをxで微分すると
d/dx・F(x)=d/dx・{g(x)-g(a)}
F'(x)=g'(x)=f(x)
すなわち
F'(x)=f(x)

F(x)を微分するとF'(x)になるのは、そういう定義です。

（←）
F'(x)=f(x) であるから、xにt(tは変数)を代入して(xをtに置換える)
F'(t)=f(t)
左辺をaからxまで、tで積分して
∫F'(x)dt(下端a、上端x)=∫f(t)dt(下端a、上端x)
ここで、
∫F'(t)dt(下端a、上端x)=[F(x)](下端a、上端x)=F(x)-F(a) F(a)=0より
∫F'(t)dt(下端a、上端x)=F(x)であるから
F(x)＝∫f(t)dt(下端a、上端x)