厳密な標準曲線の証明,お椀の中の質点を揺らさずに動かす運動

質問

２次曲面であるお椀の中に質点mがあるとします。
つまり質点は復元力のあるポテンシャル中の極小値で静止しています。これを持って、原点Ｏから距離ｘの地点Ａまで行って帰ってくると、帰ってくる頃には質点は振動するのですが、この質点をなるべく振動させないように動かしたいのです。

同じ時間T、同じ距離xで動かす場合、様々なお椀の速度v[t](もしくはお椀の位置z[t])の与え方があると思います。
下の参考ページを見て正弦曲線が、もっとも質点を「揺らさず」に動かせる曲線であるということはわかったのですが、その数学的に厳密な証明はどのように行ったらよいでしょうか。お椀の速度をv[t]と置いてその微分や積分値をいじればいいのだろうというところまでは分かるのですが…。

ちなみにシミュレーションで下のページの曲線をいくつか与え、質点を動かし、終状態の質点の運動z[t]を比較したところ、やはり正弦曲線が一番振動していませんでした。

理系ですので、数学的にある程度難度が高い証明でも頑張って理解しようと思います。どうかよろしくお願いします。

参考ページ
http://www3.ocn.ne.jp/~xyz/cam2.html

回答No.2

A-Tanaka

こんばんは。

前の回答後に、どなたか回答されるというのを期待していたのですが、誰も回答されていませんので、続けて私が回答させていただきましょう。

貴殿が、前の回答に返してきた答えが答えとも言えるでしょう。つまり、重力から生じる部分と、復元力から生じる部分を、そのまま解析学における「はさみうちの定理」によって証明すればよいのです。

具体的には、ある曲面ないしは曲線上における運動方程式と、エネルギー保存の法則によって生じる方程式を解けばよいのです。

理論的には、これで構いません。その際の解は、オイラー方程式における、一般正弦ないしは余弦の複合解となるでしょう。

なお、実験的には・・摩擦力が加わるので、減衰曲線解になるはずです。解析力学系においてはポテンシャルベクトルが最小になる解が・・・現実における解であると分かっていただければよいと思います。

追伸）量子力学的には、確率論的な解になります。そのため、量子力学時間から生じるであろう時間軸を、マクロな時間軸にすると、正規分布に従った量子エネルギー分布が得られます。このため、トンネル効果や量子効果と呼ばれる現象が観察されるのです。これが、量子もつれあいや量子テレポーテーションをもたらしていると、私たちは考えているのです。

お礼

ありがとうございます。あれから考えてみたのですが、どうも解が見えてきません。お椀と質点の運動方程式は別であることが一番の原因です。

今知りたいのは最適な「お椀」の動かし方です。お椀の関数を考慮しなければ、運動方程式やエネルギー保存の式をいじりまわしても解にたどり着けないような気がしています…。

具体的には∫F(t,y,y')dtを考えています。yはお椀の運動y(t)です。Fの中身を位置＋運動エネルギーの和としたのですが、質点の関数x(t)も陽に含まれるため非常に複雑です。
なにかものすごい勘違いをしている気がするのですが・・・ご丁寧に教えていただいたのに的外れなことを言っているようであれば申し訳ないです。
もしよろしければ考える関数の具体的な数式を示していただけると嬉しいです。

回答No.1

A-Tanaka

こんばんは。

貴殿の証明したい内容は、物理学的には、18世紀にアイザック・ニュートンが証明している最速降下曲線と呼ばれるものになります。

この証明方法において、重要な点は数学的には「はさみうちの定理（微分）」を用いて行うことになります。

ある一定の条件値において、上限を定める関数を求め、これの極限値を導出します。また、下限を定める関数を求め、これの極限値を導出します。

厳密な証明は、後にエルンハルト・オイラーによって証明されております。詳細は、日本語ではオイラーの無限解析などを参考にされるとよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。最速降下曲線の問題をヒントとし、汎関数Ｉの停留値をとることを考え、その被積分関数Ｆ(t,x,x')に関するオイラー方程式を解くことで示そうと思っています。

ここでＩ（もしくはＦ）の決め方が分からないのですが、この問題は質点に与える加速度が小さくなるようにＩを選ぶべきなのでしょうか。それともdx変化したときの復元力を考慮すべきなのでしょうか。

つまるところ、Ｉの具体的な形が見えてこないのです。解答の意図する解法であるかどうかは分かりませんが、もしそうであればご教授願います。