自由落下のこの問題が分からないです。

質問

質量がｍの質点を地上からｚ0の高さより自由落下させるとき、次の問いに答えよ。ただし、地上の高さを0とし、初期条件はｔ＝0で速度ｖ（0）＝0、ｚ（0）＝ｚ0、重力の加速度をｇとする。
１．時刻ｔにおける速度ｖ（ｔ）、位置座標ｚ（ｔ）が次のようになることを示せ。
ｖ（ｔ）＝－ｇｔ

ｚ（ｔ）＝ｚ0－（１／２）ｇｔ＾２
２．質点が地上に着いたときの時刻Ｔと、そのときの速度Ｖを求めよ。

という問題がありますが答えが変な値になってしまいます。
現在大学一年生です。
解答例と答えを教えてもらえませんでしょうか？

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。
微積分を使う物理の第一歩ですね。
「本当の物理」への入り口に来られたことを、お祝い申し上げます。

１．
加速度を時刻ｔで積分すると、速度になります。
ｖ　＝　∫－ｇ・ｄｔ　＝　－ｇ∫１・ｄｔ
　＝　－ｇｔ　＋　定数その１

ｔ＝０　のとき　ｖ＝０　なので、
０　＝　－ｇ・０　＋　定数その１
ということは、
定数その１　＝　０

したがって、
ｖ　＝　－ｇｔ　＋　定数その１
　＝　－ｇｔ　＋　０
　＝　－ｇｔ

ｖをｔでさらに積分すれば、ｚになります。
ｚ　＝　∫ｖｄｔ　＝　∫－ｇｔ・ｄｔ　＝　－ｇ∫ｔ・ｄｔ
　＝　－ｇ・１／２・ｔ^2　＋　定数その２
　＝　－１／２・ｇｔ^2　＋　定数その２

ｔ＝０　のとき　ｚ＝ｚo　なので、
ｚo　＝　－１／２・ｇ・０^2　＋　定数その２
ということは、
定数その２　＝　ｚo

よって、
ｚ　＝　－１／２・ｇｔ^2　＋　定数その２
　＝　－１／２・ｇｔ^2　＋　ｚo

２．
上の式に、ｚ＝０　を代入するだけで、ｔが求まります。
０　＝　－１／２・ｇｔ^2　＋　ｚo
すなわち、
ｔ^2　＝　２ｚo／ｇ
ｔ　＝　±√（２ｚo／ｇ）

ｔ＜０　（つまり、過去）のことは考えなくて良いので、
ｔ　＝　√（２ｚo／ｇ）

これ、非常に重要かつ基本的な事項ですので、
手順を暗記しちゃうぐらいにしてください。
物理の中のほかのことでも、度々応用が利きます。

以上、ご参考になりましたら幸いです。