質点の運動の問題

質問

こんにちは。初めて質問させていただきます。
とりあえず、問題は以下の通りです。

「質点が時間ｔの関数として（r,θ,z)=(acos(2t),t,√3/2asin(2t))で
　表される軌道上を運動している。この運動の速度ｘドットベクトルと
　加速度ｘツードットベクトル、および時刻t=0からt=t0までの間に動く
　距離を求めよ。また、運動の軌跡を図示せよ」

まず、自分は円柱座標で表されている運動なので、
直交座標に直すべく（x,y,z)=(acos(2t)cost,acos(2t)sint,√3/2asin(2t))
と直しました。
速度、加速度を求めるので、各成分をtに関して微分したいのですが、
どうも、複雑な式になってしまいそうです。
ここで、なにか計算のコツなどはありますでしょうか。

動く距離は、速度を積分するらしいのですが、
３次元のためうまくいきません。
やり方のヒントをください。
考えた方法は、速度の各成分をt=0からt=t0まで積分して
その各々を２乗して加えたもののルートをとるというものです。
これだと、軌道に沿った距離にならなそうです。

あと少しで解けそうです。
助言をお願いします。

回答No.1

endlessriver

円柱座標で考えた方が簡単に計算できるようです。
円柱座標の単位ベクトルをer,eθ,ezとする。
ezはデカルト座標と変わらない。
べクトルを<r>、時間微分をr^と記す。
位置ベクトル<r>=r<er>+z<ez>を微分すると
<v>=r^<er>+r<er>^+z^<ez>=r^<er>+rθ^<eθ>+z^<ez>
<er>^=θ^<eθ>を使っています。
これらの導出や加速度の計算は力学の本に出ていますので調べて下さい。

距離sについては線素をdsとして
ds/dt=|<v>|=|<r>^|={(r^)^2+(rθ^)^2+(z^)^2}^(1/2)
を積分すればよい。,(√3/2)aであれば簡単な式になります。

お礼

ちゃんと力学の本に書いてありました。
見落としていたみたいです。
おかげで心のもやもやが晴れました。
ありがとうございました。