物理の問題です。

質問

下記の物理の問題をどのように解いたらよいのか分かりません。

速度vでx軸上を運動する質量mの質点が、抵抗力-mkvを受けているものとする。(kは正の定数)
t=0での質点の速度及び位置がv=Vo、x=Xoで与えられるとき、時刻tにおける質点の速度と位置を求めよ。
またt→∞で静止する位置を求めよ。

教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

運動方程式（微分方程式）を立てて、解きましょう。

加速度　ａ＝dｖ/dｔ　ですから、運動方程式は、初速度の方向を正として

　ｍ・dｖ/dｔ＝－ｍｋｖ
　dｖ/dｔ＝－ｋｖ
変数分離できますから
　dｖ/ｖ＝－ｋ・dｔ
∴　log|ｖ|＝-kt＋Ｃ'　　Ｃ'は積分定数です。
　|ｖ｜＝Ｃ・e^(-kｔ)
e^(C')＝Ｃとしました。　
　t=0で　ｖ＝ｖ0（ｖ0＞０）　でしたから、Ｃ=ｖ0
さらに、　ｖ0・e^(-kｔ)＞＝０　ですから
　|ｖ|＝ｖ
∴　ｖ＝…

確かに、ｔ→∞　では、ｖ→０　となり、静止するようです。

ところで、
　ｖ＝dｘ/dｔ
ですから
　dｘ/dｔ＝ｖ0・e^(-kｔ)
　dｘ＝ｖ0・e^(-kｔ)・dｔ
∴　ｘ＝-(ｖ0/ｋ)・e^(-kｔ)＋Ｃ
ｔ＝０でｘ＝ｘ0でしたから
　ｘ0=-(ｖ0/ｋ)＋Ｃ
∴　Ｃ＝…

∴　ｘ＝ｘ０＋(ｖ0/ｋ)・(1-e^(-kｔ))
ｔ→∞　の極限では
　ｘ→ｘ０＋…

お礼

なるほど、分かりました！
ご丁寧にありがとうございます！