１つのばねで繋がれた２体問題

質問

質量ｍの２つの質点がバネ定数ｋのバネ（自然長L）で連結している。時刻ｔ＝０で質点１の位置はｘ＝０、質点２の位置はｘ＝Lとする。右向きを正として、ｔ＝０で質点１に速度ｖ０を与えた。
（１）時刻ｔの時の重心速度ｖGと重心位置ｘGを求めよ。
（２）時刻ｔでの質点１に対する質点２の相対速度（ｖ２－ｖ１）と相対位置（ｘ２－ｘ１）を求めよ。
（３）時刻ｔでの質点１と２の速度ｖ１、ｖ２と位置ｘ１、ｘ２を求めよ。

（２）に至っては質点１が動いてバネが縮むと弾性力で質点２が押されて時々刻々と速度が変化すると思いますので、どうやって問題を解いていけば良いのか全く分かりません。バネの伸び縮みによって質点の位置も複雑な変化をするので難しく、運動方程式も上手く立てられない状況です。
一応自分なりに解こうとした方法は、まず先に初速度ｖ０で質点１が動いてバネが縮んだ事による弾性力はｋ(x2-x1-L)となるから...とここまで程度で、変位だけでなく更にどちらの向きに各質点が動き、バネが縮んだのか或いは伸びたのかが全て時間によって変わるので歯が立ちませんでした。
実はこの問題は別のサイトでも質問させてもらったのですが、回答者によって若干答えが違っていたり、少し不明な点があったのでこちらでも質問しました。ちなみに他の回答者さんたちは誰も換算質量μで式を立てていなかったのですが、換算質量で考えなくてもよろしいのですか？

どなたか上の問題の解説をお願い出来ないでしょうか。

回答No.1

hitokotonusi

＞運動方程式も上手く立てられない状況です。

運動方程式は難しく考える必要はないですよ。
とにかく力を求めて右辺におく。それだけ。
バネの力がわかっているんですからあとは簡単です。
符号を考慮すると，(x2-x1-L)がバネの伸びでこれが正ならバネは伸びており，負なら縮んでいるので，

物体1　バネが伸びると正方向に引っ張られるので，符号は＋
物体2　バネが伸びると負方向に引っ張られるので，符号は－

なので運動方程式は

m x1'' = + k(x2-x1-L)
m x2'' = - k(x2-x1-L)

これだけ。('は時間微分で''は時間の二階微分)

>バネの伸び縮みによって質点の位置も複雑な変化をするので難しく、

このあたりは運動方程式を解いて求めるもので，
解く前にわからないのは当たりまえです。

＞換算質量で考えなくてもよろしいのですか？

換算質量を使って二体問題として運動方程式を立てるなら，
上のようなそれぞれの物体ごとの運動方程式を立てることなく，
運動方程式をいきなり

重心の運動方程式 2m xG'' = 0
相対運動の運動方程式 μ r'' = -k(r-L)　(r=x2-x1)

と書き下せるというだけで，明示的に換算質量を使わなくても結局は同じ式に帰着します。この場合は質量が同じなので換算質量がm/2ですから，他のところの回答のm/2をμと置き換えれば同じ結果になっているはずです。