力学の問題がわかりません。

質問

質量mの質点の鉛直方向の1次元運動を考える。鉛直上向きにz座標をとる。重力加速度の大きさはg(正の定数)とし、方向はz軸負の向きとする。この質点に、重力に加えて、速度vに比例する抵抗力
F＝－λv
が働く場合を考える。ここでλは正の定数であり、時間t=0にz=0、v=0であるとする。
(1)加速度aをv，g，mおよびλを用いて表せ。
(2)速度vを時間tの関数として求めよ。
(3)終端速度(t→∞での速度)を求めよ。
(4)位置zを時間tの関数として求めよ。
わからないので教えてくださいませんか。
途中計算もあると嬉しいです。

回答No.1

superkamecha · ベストアンサー

こんにちは。

この問題、ｚ座標が鉛直上向きなので、注意が要りますが、、
このため、ｖは上向きが正ですね。まず、それをはっきり認識しておいてください。

（１）は、時間微分を「’」として、
ａ＝ｖ’＝－（ｇ＋λｖ）　は難しくないですね。
（２）は、まさにこれを解けというわけで、変数分離すると、
１／（ｇ＋λｖ）・ｄｖ＝－ｄｔ　
これの積分　→　１／λ・ｌｎ（ｇ＋λｖ）＝－ｔ＋定数
ｔ＝０にてｖ＝０として、
ｖ＝－ｇ／λ・（１－ｅｘｐ（－λｔ））
です。ｔ→∞で、、、もうお分かりですね。
実は、この値は（１）式でｖ’→０からも導かれるんですが。
（４）は、ｖの式を更にもう１階、ｔで積分するだけです。

補足

運動方程式はma=mg-λv
とはならないのですか？

回答No.3

superkamecha

たびたび、すみません。

あぁ、そうか！です。勝手にｍ＝１として計算しておりました。
運動方程式は
ma=-(mg+λｖ）　ですね。
前回回答のλをλ/mと書き換えてください。

大変失礼しました。

回答No.2

superkamecha

補足に対する回答です。

それゆえ、「ｖは上向きが正だということを、はっきり認識」しておくようにと申し上げたのですが、、、
ｖもｖ’=aも「上」が正値なので、下向きのｇは-ｇです。