数２の高次方程式の問題です。

質問

数２の高次方程式の問題です。
多項式P(x)をx^2+x-2で割ると余りが-3x+8であり、x^2-x-6で割ると余りが-5x+4である。P(x)をx^2-4x+3で割ったときの余りを求めよ。

解答は-8x+13だそうです。
どうしてもわかりません。どなたか途中式・解説宜しくお願い致します。

回答No.1

debut · ベストアンサー

P(x)をx^2+x-2で割ると余りが-3x+8から
P(x)=(x+2)(x-1)Q(x)-3x+8・・・(1)
P(x)をx^2-x-6で割ると余りが-5x+4から
P(x)=(x+2)(x-3)R(x)-5x+4・・・(2)
と表せる。
P(x)をx^2-4x+3で割ったときの商をS(x)、余りをax+bとすれば
P(x)=(x-1)(x-3)S(x)+ax+b・・・(3)
(1)でP(1)=-3+8=5なので、(3)より
P(1)=a+b=5・・・(4)
(2)でP(3)=-5*3+4=-11なので、(3)より
P(3)=3a+b=-11・・・(5)
(4),(5)の連立方程式を解けば、a=-8,b=13です。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました!すごく助かりました。

回答No.2

spring135

P(x)=(x^2+x-2)Q(x)-3x+8=(x^2-x-6)R(x)-5x+4=(x^2-4x+3)S(x)+ax+b

x^2+x-2=(x+2)(x-1)
x^2-x-6=(x-3)(x+2)
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

よって
P(x)=(x+2)(x-1)Q(x)-3x+8=(x-3)(x+2)R(x)-5x+4=(x-1)(x-3)S(x)+ax+b
P(1)=-3+8=a+b
P(3)=-15+4=3a+b

a=-8,b=13

お礼

ありがとうございます!参考になりました!!