助けて下さい！

質問

助けて下さい！

高校１年生の数学ですが…
Xの多項式P(X)は、(X-１)?(X-１の二乗)で割ると２X-３余り、X-２で割り切れる。
p(X)を(X-１)?(X-２)で割った時の余りを求めよ。

という問題で、
解説のp(X)を(X-１)?(X-２)で割った時の商をＱ(X)とすると、
余りは２次式以下の多項式か０であり、さらにp(X)を(X-１)?で割った余りが
２X-３であることから、
P(X)＝(X-１)?(X-２)Ｑ(X)+a(X-１)?+２X-３とおける…

というところの意味がよくわからないので、教えて下さい((+_+))
数学が苦手なので、よろしくお願いします。

回答No.2

nananotanu

>(X-１)2　(X-２)Ｑ(X)がどうして(x-１)2で割り切れるのかがまだよく分からないのですが…

(X-１)2(X-２)Ｑ(X)　は　>(X-１)2かける(X-２)Ｑ(X)　ということですよね？
コレは、(X-１)2(X-２)Ｑ(X)は　(X-１)2の(X-２)Ｑ(X)倍である、ということではないでしょうか。即ち、、(X-１)2(X-２)Ｑ(X)は(X-１)2の倍数であり、(X-１)2で割ったときの商は(X-２)Ｑ(X)、結局(X-１)2で割り切れる、ということです。

(X-１)2をA、(X-２)Ｑ(X)をBと考えて、A×Bと書けば解り易いですか(^^)？

回答No.1

OKXavier

P(x)を(x-1)^2(x-2)で割ったら、余りは、
ax^2+bx+c　とおけます。ここは大丈夫ですね。

つまり、
P(x)=(x-1)^2(x-2)Q(x)+ax^2+bx+c　…(1)
と表せます。

ところが、同じ式を、(x-1)^2　で割ったら余りが　2x-3
となるということは、(1)の右辺の第一式
(x-1)^2(x-2)Q(x)
は、(x-1)^2　で割り切れていますから、あまりの部分
ax^2+bx+c　を　(x-1)^2　で割ったら、余りが　2x-3　になる
ということです。

つまり、ax^2+bx+c=(x-1)^2・a+2x-3　と書ける。
（このときの商a　は、x^2　の係数がa　だから。）

結局(1)は、
P(x)=(x-1)^2(x-2)Q(x)+(x-1)^2・a+2x-3
=(x-1)^2{(x-2)Q(x)+a}+2x-3
ともかけることになる

助けられたでしょうか？(^^;

補足

すごく分かりやすくて、大体理解ができました!!
ありがとうございます

(X-１)2　(X-２)Ｑ(X)がどうして(x-１)2で割り切れるのか

がまだよく分からないのですが…

おしえていただけますか？