対数方程式の解き方がわかりません

質問

「(log(3)x)^2-log(3)9x+k-log(3)27=0が異なる2つの実数解α、βを持ち、β=α^3を満たすとき、kの値を求めよ。」という問題ですが、
X=log(3)xとおいて解こうとしたのですが、ゆきづまりました。
どなたか解法を教えていただけませんか。

回答No.1

yut- · ベストアンサー

１５年くらい前に受験生だった人です。
なつかしかったのでやってみました。^^;

log(3)9=2, log(3)27=3　なので、X=log(3)x　とすると、
与式はX^2-(2+X)+k-3=0
整理するとX^2-X+k-5=0…(1)
ところで、x=α, x=β=α^3　すなわちX=log(3)α, X=log(3)α^3=3log(3)α
のとき(1)式は成り立つはずである。（与式の解がx=α、βなので）
そこで、A=log(3)αとすると、
A^2-A+k-5=0…(2)
(3A)^2-3A+k-5=0…(3)
の両式が成り立つ。
これらを辺々引くと、
-8A^2+2A=0
これをＡの二次方程式として解くと、A = 0, 1/4
これらの値を(2)式に代入すると、
A=0のときk=5, A=1/4のときk=83/16

従って、k=5, 83/16

合ってますか？

お礼

回答ありがとうございました。
X=log(3)α^3とするのが思いつかなかったです！
さすがですね～!!
今度受験生なのでがんばります(人´∀｀).☆.。.:*