方程式について

質問

x^2＋kx＋3=0・・・(1)
x^2＋x＋3k=0・・・(2)
が共通の実数解をもつようにkの値を定めよ。

という問題があります。
(1)ー(2)より(k-1)(x-3)=0・・・(3)となるのですが、ここで手持ちの参考書は、
「逆に(1)ー(3)より(2)が得られるので、(1)かつ(2)は、(1)かつ(3)と同値である。よって(1)と(2)が共通解も持つことと(1)と(3)が共通解をもつことは必要十分。」と解答が作られています。

しかし、私には(1)ー(3)より(2)が得られるならば、(1)かつ(2)は、(1)かつ(3)と同値である、という議論がよくわかりません。

直感的に当たり前だろう、というところかもしれませんが、私にはよくわかりません。どなたかわかりやすく説明してくれないでしょうか…。

回答No.4

_Kyle · ベストアンサー

まず、問題の議論の「筋道」について検討してみます。

「数式(1)と数式(2)がともに成り立つならば、数式(3)も成り立つ」ことを
　(1)∧(2)→(3)
と書くことにします。
(こういう式(論理式)の書き方には色々流儀があり、この書き方は当座のものです。）

まず、(1)と(2)から(3)が導けますから、
　(1)∧(2)→(3)
が言えます。

「逆に(1)ー(3)より(2)が得られる」ことから、
　(1)∧(3)→(2)
も言えます。

さらに、
　(1)∧(2)→(1)
　(1)∧(3)→(1)
が当然に言えることに注意しましょう。
「(1)と(2)がともに成り立つならば、(1)が成り立つ…というより成り立っている」

ということは、
　(1)∧(2)→(1)∧(3)
　(1)∧(3)→(1)∧(2)

つまり、
「(1)と(2)がともに成り立つならば、(1)と(3)がともに成り立つし、
　(1)と(3)がともに成り立つならば、(1)と(2)がともに成り立つ」
ということです。
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次に、問題の議論の「必要性」について検討してみます。

(3)から「k=1またはx=3」が判ります。
さらにk=1の場合を(1)について調べると、
実数解を持たず不適であることが判ります。
となれば、X=3の場合しか残りませんから、
(1)について調べて「K=-4しか答えになり得ない」ことが判ります。

センター試験であればここでおしまいですが、記述式の場合は、
この時点ではx=3,k=-4の組が(2)を充たすかどうか判りませんから、
ほかに答えが無いからといって、ここで止めてしまうと減点対象です。

「(1),(2)が共通の実数解をもつようなkが存在する」
つまり「答えがある」というのは、単に試験上の約束事であって、
数学上の問題ではないので前提にできません。

満点をを得るには、
・#3さんのように「その組が(2)を充たすことを代入して実際に確かめる」
か、または、
・「(1),(3)を充たす組は必ず(2)を充たすことを示す」
必要があります。

問題の議論は、
「(2)については実際に確かめたりしないけど、
　それはkやxが何であれ、(1),(3)が成り立つなら(2)も成り立つから、
　確かめる必要がないと判ってるからですよ。」
と主張しているわけです。

まぁ、個人的には#3さんのように【実際に確かめた方が早いし確実】な気もしますが…。

ご参考まで。長乱文陳謝。

お礼

かなり丁寧な回答をしてくれてびっくりしています。
おかげで私が持っていた疑問はすっきり解消しました。問題の議論の必要性の部分も。

最も納得できた回答だったので、良回答とさせて頂きます。

回答No.3

noname#101087

おっしゃる通り、参考書の解答は意味不明。

いたしかたなく、(3) のあとでもたどってみましょう。

　(k-1)(x-3)=0　　　…(3)

(A) k-1=0 なら、二つとも共通解になるが実数解じゃない。
　x^2＋x＋3=0・・・(1), (2)　　　D = 1-12 < 0

(B) x-3=0 なら、共通の実数解はあるけど一つだけ。
　x^2 + kx + 3 = (x-3)(x-1)
　x^2 + x + 3k = (x-3)(x+4)
　// k=-4

ここで参考書のご宣託へ戻ってみると、ますます意味不明。
「共通の実数解をもつようにkの値を定めよ」に対する答案に、そんな意味不明のコメントをつけないと減点されるんですかね。

回答No.2

fluidicB

感覚的な説明ですが、まず前提として：
未知数一つの方程式ひとつをとくと、その未知数を特定できて、未知数２つ、式２つの連立方程式を解くと、未知数が２つともわかる
ってのはOKですか？

でも、たとえば
ｘ＋ｙ＝２　…（１）
という式があって、さらにこの両辺を２倍した
２ｘ＋２Ｙ＝４　…（２）
という式を作ってみましょう。未知の変数がｘ、ｙの２個、式（１）、（２）で２式あるからこの連立方程式は解けるか、というと、やっぱり解けません。見かけ上式が２つあっても、１つ分の情報しかないからです。すでに条件として使うことになっている式をこねくり回して作った式では、条件が増えたと見ることができないのです。

そこで、質問の式ですが、(1)と(2)から(3)を作り出しました。見かけ上式が三つありますので、もしかするとｘとｋ以外にもう一つくらい未知数があってもよさそう、という気にもなるかもしれないけど、情報量としては式２つ分しかないです。
今回の場合(3)には(1)の条件も(2)の条件も含まれていますので、(1)か(2)のどちらかを忘れてしまっても大丈夫です。
ここで「(1)と(2)からできたのだから(3)があれば(1)か(2)のどちらかを忘れてしまっても構わない」という議論は、いつでも成り立つ話ではありません。極端な話、(1)の両辺に0をかけると0=0という式(4)ができあがりますが、これは(4)は情報量ないですよね。そういう落とし穴があるかもしれないことには注意が必要です。でも今回の場合、(1)と(3)からもう一度(2)を作ることができますので、そういう意味で、式(3)の中に(2)の条件がしっかり入っていることが確認できます。参考書の文言の「逆に(1)ー(3)より(2)が得られるので、」というあたりがその話。

この式(1)(2)(3)で３つもあるというのは当初２つしかなかったことからすれば十分すぎる条件です。でも式どれか一つはそれぞれ満たさなければならない条件です（必要条件）。必要十分なのは式２つ。
(1)かつ(2)という組み合わせも、(1)かつ(3)という組み合わせも、(2)かつ(3)という組み合わせも、数学の条件としては同じことを言っています。同値ってことです。

長く書きすぎて、かえってわかりにくいかもしれないけど。

回答No.1

koko_u_u

連立方程式が「同値」である

とは一体どういうコトを言っているのか、補足にどうぞ。