方程式について教えて下さい。

質問

P(X)=X3+(1-2a)X2+2aX+b(a,bは実数の定数）、P(-1)＝0を満たす。
方程式P(X) ＝0が異なる2つの実数解をもつときaの値は？（3つ）それぞれの異なる2つの実数解、Xの値は？（ここで、X3はXの3乗を示しています。）以上の問題です。宜しくお願いします。

回答No.2

info22

「α、βを２実解とすると」　←これも書いてない。これではα、βが？
>α^2＋β^2＋9＝3αβが成り立つという条件を忘れていました。

こういう重要な条件を書かないで質問すれば回答者に無駄な時間を使わせる。質問する時は問題を正確に記述して、初めて質問と言える。今後、気をつけるように！

>(1)の場合、判別式D=0⇒a=0,4となりX=0、4
x^2-2ax+4a=0
a=0の時P(x)=(x+1)x^2=0 →　x=-1とx=0(重解)の2実解でxは共に整数
α^2＋β^2＋9＝3αβに代入すると1+9=0となるので条件を満たさない。
a=4の時P(x)=(x+1)(x-4)^2→ x=-1とx=4(重解)の2実解でxは共に整数
α^2＋β^2＋9＝3αβに代入すると1+16+9=-12となるので条件を満たさない。

>>(2)(x^2-2ax+4a)=0がx=-1とx≠-1の2実解をもつ
x=-1が
x^2-2ax+4a=0
の解であることからx=-1を代入して
1+2a+4a=0→ a=-1/6
この時 x^2-2ax+4a=(x+1)(x-2/3)=0
P(x)=(x-2/3)(x+1)^2=0 ∴x=2/3,-1(重解)…整数と分数です。
α^2＋β^2＋9＝3αβに代入すると1+(4/9)+9=-2となるので条件を満たさない。
したがって、
「α^2＋β^2＋9＝3αβ」の条件をつけると解が全部排除されて、解が亡くなります。
という事は「α^2＋β^2＋9＝3αβ」が間違っているという事です。
問題をチェックしなおして下さい。

なお、
>(2)の場合、判別式D＝4a^2-16a>0のときa<0,4<a　
↑この条件は x=-1を代入して方程式を解いているので不要（書く必要ない）。

>これより、a=1/2,9/2が得られますが、a=9/2の場合、X=3,6
これはどこから出したのですか？
a=1/2ではP(x)=0は実解は1つ(X=-1)のみ。
a=9/2ではP(x)=0は異なる実解が3個(x=-1,3,6)もつ。
ので問題外。

問題が間違っていないか、よくチェックして下さい。

お礼

有難うございました。もう一度、問題出題者に確認を取ります。

回答No.1

info22

P(-1)=0からb=4a
これをP(x)に代入して因数分解
P(x)=(x+1)(x^2-2ax+4a)
異なる２実数解を持つには
（１）(x^2-2ax+4a)=0がx=-1とは異なる重解をもつ
（２）(x^2-2ax+4a)=0がx=-1とx≠-1の2実解をもつ
の２つの場合があります。

後はやってみて、分からなければ補足質問して下さい。

補足

回答ありがとうございます。
(1)の場合、判別式D=0⇒a=0,4となりX=0、4
(2)の場合、判別式D＝4a^2-16a>0のときa<0,4<a
α^2＋β^2＋9＝3αβが成り立つという条件を忘れていました。
これより、a=1/2,9/2が得られますが、a=9/2の場合、X=3,6
解答欄はX=整数と分数と書かれています。この点につまづいています。