二次方程式

質問

二つの二次方程式、x＾2ー（a-2）ｘ－９＝０とｘ＾２－ｘ－３a=0がともに
実数解を持つようなaの値の範囲を求めよ。
またこれらの二次方程式が共通の実数解を持つようなaの値をすべて求めよ。

上記の問題の解き方が、まったくわかりません、解き方を教えてください。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

設問1[二つの二次方程式、x＾2-（a-2）x-9＝０...(1) と ｘ^2-x-3a=0 ...(2) がともに
実数解を持つようなaの値の範囲]

二つの二次方程式の2次の係数がともに1でゼロでないので、それぞれの判別式D1,D2が同時に≧0であれば良い。
(1)の判別式D1=(a-2)^2+4*9＞0 常に成立。
(2)の判別式D2=1^2+4*3a=1+12a≧0　より　a≧-1/12

まとめて
ともに実数解を持つようなaの値の範囲：a≧-1/12　　...'(答)

設問2 [これらの二次方程式が共通の実数解を持つようなaの値]

共通の実数解が存在するとき(a≧-1/12 ... (3)のとき）
共通解は(2)-(1)より導出の
　(a-3)x+9-3a=0 ...(4)
に含まれる。
(4)より
　(a-3)(x-3)=0
　a=3, x=3

x=3のとき
(1)に代入
　9-3(a-2)-9=0
　3a=6 ∴a=2
a=2を(1),(2)に代入
　x^2-9=(x-3)(x+3)=0 ∴x=3, -3
　x^2-x-6=(x+2)(x-3)=0　∴x=3, -2
確かに 共通解x=3を１つ持ち(3)も満たすので　a=2は適する。

a=3のとき
(1)、（2）に代入
　x^2-x-9=0 ∴x=(1±√37)/2
　x^2-x-9=0 ∴x=(1±√37)/2
と２つの方程式は一致するので、２つ実数解はともに共通解
a=3は(3)も満たすので適する。

以上まとめて
(答) a=2, 3

お礼

回答ありがとうございました。
細かく、丁寧に書いていただいて、本当に感謝です。
ありがとうございました。

回答No.2

bgm38489

実数解を持つ、これは方程式ax^2+bx+c=0の判別式b^2-4ac≧０ということです。二つの方程式に当てはめれば、各々のaの範囲が求まりますね？それらを複合して考えたものが、最終的に求めるaの範囲です。

また、共通の実数解については、ｘ＝((-b±√（b^2-4ac))/2aの式から、各々の方程式の解を二つ求め、それぞれa1,a2,b1,b2とすると、a1とb1が共通解の時、a1とｂ２,a2とb1,a2とb2の時の組み合わせで、求めればよい。

以上、解き方のみにしました。判別式と解の公式、これだけです。

お礼

回答ありがとうございます。
自分じゃ、見当がつかなかった解き方がすっきりわかりました。
詳しく回答していただき、ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

x＾2ー（a-2）ｘ－９＝０　の判別式は
（ａ－２）＾２＋３６であり、これは常に正です。
よってこの二次方程式は常に実数解を持ちます。

ｘ＾２－ｘ－３a=0　の判別式は
１＋１２ａであり、これをゼロ以上とすると
１＋１２ａ＞＝０
ａ＞＝－１／１２

以上よりａ＞＝－１／１２

x＾2ー（a-2）ｘ－９＝ｘ＾２－ｘ－３a　とおくと
３ａ－９＝（ａ－３）ｘ
ｘ＝３
これをx＾2ー（a-2）ｘ－９　に代入して式の値がゼロに
なればいいので、
（ａ－２）＊３＝０
ａ＝２
また、二つの二次方程式が全く同じであれば両者は共通の
実数解をもつので、両者の係数を比較して
ａ－２＝１
３ａ＝９
より　ａ＝３

以上よりａ＝２または３のとき両者は共通の実数解を持つ。