四面体の体積を求める際の、高さの求め方。

質問

四面体ＡＢＣＤがある。　ＡＢ＝ＢＣ＝３　ＢＤ＝１　ＡＤ＝２√2　ＡＣ＝２√5　ＣＤ＝２√3　である時、四面体ＡＢＣＤの体積Ｖを求めよ。

体積（Ｖ）＝底面積×高さ×１/３　
「高さ」を求められず、この式が使えません。

解答では、「△ＢＣＤを底面とすると、ＡＤが高さになる。」…とありますが、底面△ＢＣＤから頂点に伸びる線は３本あり（ＡＤ、ＡＣ、ＡＢ）、なぜ、ＡＤが「高さ」になるのか、わかりません。

正四面体であれば答えられるのですが、この問題は考えてもまったく分かりませんでした。

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

△DABと△DACとでピタゴラスの定理が成立します。
AB^2=DA^2+DB^2
AC^2=DC^2＋AD^2
したがって
∠ADC=∠ADB=∠R (直角)
△BCDの平面上の交差する直線DBと直線DCに直線（線分）ADは直角だから、
点Dは頂点Aから底面BCDに下した垂線の足といえるわけです。
つまり底面BCD、頂点Aの四面体の高さがADの長さになるということです。

お礼

詳しい説明を有難うございました。図を書いてみるととても90度には見えない図で、直角だと気づきませんでした。きちんと計算して求めることが大切だと感じました。有難うございました。

回答No.4

12125j

AB=3, BD=1, DA=2√2
AB^2=BD^2+DA^2
∠ADB=90°・・・(1)

AC=2√5, CD=2√3, DA=2√2
AC^2=CD^2+DA^2
∠ADC=90°・・・(2)

(1),(2)より
ADは△BCDに垂直

お礼

丁寧にご回答下さり有難うございました。本当に感謝しています。
きちんと計算すれば気づくはずなのに、図の見かけで判断してしまいました。今後はきちんと求めるように頑張ります。本当に有難うございました。

回答No.2

postro

△ACD　と　△ABD　は、ともに直角三角形です。
だから辺ADは平面CBDと垂直です

お礼

回答を下さり本当に有難うございました。以前にもお答え頂いたと思いますが本当に感謝しています。有難うございました。

回答No.1

quaRk-6

BD^2+AD^2=1+8=9=AB^2
CD^2+AD^2=12+8=20=AC^2
なので、三平方の定理の逆が成り立って
∠BDA=∠CDA=90°
よって△BCD⊥ADです。

お礼

お忙しい中、すぐに回答を下さり本当に有難うございました。とても嬉しかったです。頑張ります。