中学３年の数学の問題

質問

中学３年の数学の問題が解けなくて困っています。
次の問題の（ア）、（イ）の解き方、解答を教えてください。
よろしくお願いします。
【問題】
正三角錐ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝４、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＢ＝３である。
このとき、底面ＢＣＤの面積は（ア）で、頂点Ａから底面ＢＣＤに下ろした垂線
ＡＨの長さはＡＨ＝（イ）である。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

底面の△BCDは一辺の長さが３の正三角形なので頂点Bから対辺CDに下ろした垂線をBM（垂線の足をM）とするとMは辺CDの中点となる。
　CM=CD/2=3/2
直角三角形BCMに三平方の定理を適用して
　BM^2=BC^2-CM^2=3^2 -(3/2)^2=27/4
　∴BM=(3/2)√3 …(★)

（ア）
底面BCDの面積S=CD*BM/2=3*(3/2)(√3)/2=(9/4)√3

△ACDはAC=AD=4の二等辺三角形であり、Mは辺CDの中点であるから、
AM⊥CD。△AMCは直角三角形なので三平方の定理より
　AM^2=AC^2-CM^2=4^2-(3/2)^2=55/4
　∴AM=(√55)/2
Hは正三角錐の頂点Aから底面の正三角形に下ろした垂線の足なので
底面の正三角形BCDの外心、重心、内心、垂心でもあるから、
BH:HM=2:1
∴BH=BM*(2/3)=(3/2)(√3)(2/3)=√3（∵(★)より）
直角三角形ABHで三平方の定理を適用して
(イ)
　AH^2=AB^2-BH^2=4^2-(√3)^2=16-3=13
　∴AH=√13

お礼

どうもありがとうございました。遅い時間に質問したのにすぐ回答がもらえて嬉しかったです。これからも困った時には教えて下さい！

回答No.2

ferien

【問題】
正三角錐ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝４、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＢ＝３である。

>このとき、底面ＢＣＤの面積は（ア）で、
△ＢＣＤは正三角形だから、ＣＤの中点をＭとすると高さＢＭ＝３ルート３／２
面積＝（１／２）×３×３ルート３／２＝９ルート３／４

頂点Ａから底面ＢＣＤに下ろした垂線
>ＡＨの長さはＡＨ＝（イ）である。
垂線の足Ｈは、△ＢＣＤの重心であるから、ＢＨ：ＨＭ＝２：１
よって、ＢＨ＝（２／３）ＢＭ＝（２／３）×３ルート３／２＝ルート３
直角三角形ＡＢＨで考えると、
ＡＨ^2＝ＡＢ^2－ＢＨ^2＝４^2－（ルート３）^2＝１３
よって、ＡＨ＝ルート１３

でどうでしょうか？　図を描いて考えて見て下さい。

お礼

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回答No.1

RokiXIII

Aを頂点とし底辺3、斜線４の二等辺三角形をイメージします。3の半分は1.5とAを結ぶと底辺1.5、斜線4、高さXの直角三角形ができます。直角三角形の定義は1：2：ルート3になります。これから1：ルート3 ＝ 1.5：X よりX＝1.5ルート3になります。
よってアの回答は3×1.5ルート3×1/2 ＝ 4.5ルート3 / 2 になります。
イの回答は高さXがAHに該当するためルート3になります。

お礼

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