数学Iの空間図形の問題

質問

1辺の長さが3の正四面体ABCDがある。
頂点Aから底面BCDへ下ろした垂線をAH、
辺ABを1:2の長さに分ける点をEとするとき、
AHの長さ、sin∠ABHの値、四面体EBCDの体積Vを求めよ。

長さと値はなんとなく解けそうなのですが、
体積がよくわかりません＞＜

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

直線BHと辺CDとの交点をMとしますと、点Mは辺CDを2等分します。
　三平方の定理から　AM=BM=3√3/2
　△ABMで余弦定理から　cos∠ABH=(AB^2+BM^2-AM^2)/(2AB・BM)=√3/3
　　∴sin∠ABH=√{1-(cos∠ABH)^2} =√6/3

　　∴AH=ABsin∠ABH =√6

　正四面体ABCDの体積は　△BCDを底面、AHを高さとすると
　　（正四面体ABCDの体積）=(1/3)×√6×{(1/2)×3×3√3/2} =9√2/4

　正四面体ABCDの体積と　四面体EBCDの体積の比は　AB:EB=3:2　なので
　　∴V=(2/3)×（正四面体ABCDの体積）=3√2/2

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

tomokoich

△ABH≡△ACH≡△AHDよりBH=CH=DH
Hは正三角形BCDの外心，重心なので△BCDの点DからHを通って辺BCに交わる点をMとすると
DH=(2/3)DM
DM=BDsin60°=(3/2)√3
DH=(2/3)*(3/2)√3

AH=√(AD^2-DH^2)=√(3^2-3)=√6
sinABH=AH/AB=√6/3

正四面体ABCDの体積=(1/3)*△BCD*AH
=(1/3)*3*(3/2)√3*(1/2)*√6
=(3/4)√18=(9/4)√2
四面体EBCDの体積=正四面体ABCDの体積*(2/3)
=(9/4)*(2/3)*√2=(3/2)√2

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m