体積の求めかた

質問

辺の長さがAB=√2,AC=√2,AD=√5,BC=2,BD=√7,CD=3の三角錐ABCDの体積を求める問題で

(AC)＾2＋(AB)＾2=(BC)＾2,(AB)＾2＋(AD)＾2=(BD)＾2が成り立つとき
・∠BAC=∠BAD=90度が分かりません
・平面ACDとABは垂直に交わるか分かりません。
・cos∠CAD={(AC)＾2＋(AD)＾2-(CD)＾2}/(2AC*AD)
この式が分かりません。
余弦定理みたいなかんじですが。

回答No.5

debut · ベストアンサー

＞V=(1/)*△ACD+AB
＞はわかったのですが

　V=(1/3)*△ACD*AB ですね。

＞△ACD=(1/2)*AC*AD*sin∠CADになるのが分かりません。

　これは三角形の面積を求める公式です。
　三角形の面積＝(1/2)*(2つの辺の長さの積)*(その２辺で挟まれる角のsin)
　です。が、これは結局おなじみの「底辺×高さ÷２」を言い替えている
　だけです。

　△ACD=(1/2)*AC*AD*sin∠CAD　でいえば、ADを底辺とすると、AC*sin∠CAD
　の部分が高さになります。なぜなら、高さをｈとすると、sin∠CAD=h/AC
　（三角比の基本から）なので、変形すると　ｈ=AC*sin∠CAD　となる
　からです。

お礼

debutさんいつもありがとうございます。
納得しました。

回答No.4

monkii

#2 encyさん
フォローありがとうございます。

あと、私の説明では不十分でしたね。∠BADだけでなく∠BACも90°でないと平面ACDとABは垂直とは言えませんよね。なので、結局encyさんのご指摘通りの考え方になると思います。

申し訳ありませんでした。

補足

みなさんありがとうございます。
計算を教えてください。
V=(1/)*△ACD+AB
はわかったのですが
△ACD=(1/2)*AC*AD*sin∠CADになるのが分かりません。

回答No.3

debut

＞・∠BAC=∠BAD=90度が分かりません
　　　(AC)＾2＋(AB)＾2=(BC)＾2　だから△ＡＢＣで三平方の定理が成り立つ
　　　　　　　　　　　　　　　→BCが斜辺
　　　(AB)＾2＋(AD)＾2=(BD)＾2　だから△ＡＢＤで三平方の定理が成り立つ
　　　　　　　　　　　　　　　→BDが斜辺

＞・平面ACDとABは垂直に交わるか分かりません。
　　　（実感するには）まず紙に△ＡＣ Ｄをかきます。
　　　次に、∠ＢＡＣ ＝90°で　しかも∠ＢＡＤ＝90°になるように点Ｂ
　　　を決めるわけですが、どこにＢがあればいいでしょうか？
　　　これは、例えば鉛筆をＡの所に　紙面に対して垂直になるように
　　　立てたときの　鉛筆の上の端がＢとなりませんか。

＞・cos∠CAD={(AC)＾2＋(AD)＾2-(CD)＾2}/(2AC*AD)
　　　まさに、△ＡＣ Ｄに適用した余弦定理
　　　(CD)^2=(AC)^2+(AD)^2-2(AC)(AD)cos∠CAD　を cos∠CDA に
　　　ついて変形したものです。

次は、このcos∠CADからsin∠CADを求め、△CADの面積(底面積)を求め、
体積を計算します。

回答No.2

ency

No1 monkiiさんに補足です。

> ・平面ACDとABは垂直に交わるか分かりません。
> 三角形ABDに余弦定理を適用すればすぐに求められると思います。

「∠BAC=∠BAD=90度」がわかっているので、ここであらためて三角形ABDに余弦定理を適用することもないかと。
というよりも「∠BAC=∠BAD=90度」がわかっているわけで、そうすれば平面ACDとABは。。。

どこがどうわからないのでしょうか？＞boku115さん

回答No.1

monkii

・∠BAC=∠BAD=90度が分かりません
(AC)＾2＋(AB)＾2=(BC)＾2,(AB)＾2＋(AD)＾2=(BD)＾2が成り立つと言ってるのですからすぐ分かると思いますが。三平方の定理です。

・平面ACDとABは垂直に交わるか分かりません。
三角形ABDに余弦定理を適用すればすぐに求められると思います。

・cos∠CAD={(AC)＾2＋(AD)＾2-(CD)＾2}/(2AC*AD)
これが余弦定理ですけど・・・。