数Ｉの問題で解答に自信のないところがあります。

質問

2x^2-4x-6の、t≦x≦2t+1（0<t<3）における最大値をM、最小値をmとする。
M=4/5|m|を満たすtの値を求めよ。

という問題があるのですが、解くには解けたのですが中途半端な答えになってしまい自信がありません。

2x^2-4x-6の頂点は(1,-8)

(ⅰ)t≦1≦(3t+1)/2のとき→-1/3≦t≦1のとき
m=-8、M=8t^2-8となり、M=4/5|m|に当てはめ計算、0<t<3の範囲内で、t=(3√5)/5

(ⅱ)(3t+1)/2≦1≦tのとき→1≦t≦1/3のとき
m=-8、M=2t^2-4t-6となり、M=4/5|m|に当てはめ計算、しかし0<t<3の範囲内になるtはなし

(ⅲ)1<tのとき
m=2t^2-4t-6、M=8t^2-8となり、M=4/5|m|に当てはめ計算、0<t<3の範囲内で、t=4/3

(ⅳ)2t+1<1のとき→t<0のとき
m=8t^2-8、M=2t^2-4t-6となり、M=4/5|m|に当てはめ計算、0<t<3の範囲内で、t=1/11

よって答えはt=(3√5)/5,4/3,1/11

となったのですが、
・あまりにも中途半端すぎる答えである
・答えが３つもある
ので、間違っているような気がしてなりません。

先生はミスを許さない人なので、どうしても正しい答えを求めなくてはいけません。
計算過程で間違っているところはありますでしょうか？
このような解き方でよいのでしょうか？

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

#1です。大体、チェックしました。

>|2t^2-4t-6|は、0<t<3の範囲でマイナスになるので、
>-2t^2+4t+6になると考えて計算しました^^;　当たってるかな

あってますよ。少なくとも4/3はそれぞれを計算すればあっているかどうか
分かりますね。
また、場合分けですが2種類ですみます。

1）0<t≦1のとき
　　最小値は-8、このときM=4/5*|-8|=32/5
　　2t+1≦3からこの範囲で正になるtはなし。（解はなし）

2)1<tのとき
　　m=2t^2-4t-6、M=8t^2-8

これを検討すると4/3だけだと思います。
（最大値が最小値の絶対値の4/5ということは最小値がマイナスであることは
明白ですし、最大値が正になるのはt>1だけですから）

お礼

回答ありがとうございます！

＞0<t≦1のとき
あ、そっか^^;　-1/3≦t≦1で、0<t<3ですからそうなりますね・・
もっと落ち着いて計算しなきゃ^^;
こういう問題を解くときは、範囲というものが非常に重要になりますね。気をつけないと大変だ・・

＞このときM=4/5*|-8|=32/5
そういう風に考えたほうが簡単ですね・・！なるほど

＞最大値が最小値の絶対値の4/5ということは最小値がマイナスであることは明白
確かによくよく考えてみればそうですね・・！(*´Д｀)スッキリしました

＞最大値が正になるのはt>1だけ
なるほど・・！

考えてみれば、そこまで難しくない問題ですね^^;
しかし、範囲などには十分に気をつける必要がありますね・・うん

回答ありがとうございました！

もし他の方も「ココおかしい」と思うところがあればお願いします^^

回答No.1

age_momo

詳しくはチェックしていませんが、明らかにおかしい点として

場合分けしているのに答えがその範囲内であるかどうかを考慮していない。

というところにあります。
例えば

>(ⅰ)t≦1≦(3t+1)/2のとき→-1/3≦t≦1のとき
>m=-8、M=8t^2-8となり、M=4/5|m|に当てはめ計算、0<t<3の範囲内で、t=(3√5)/5

t=(3√5)/5≒1.34

場合分けは-1/3≦t≦1なのですからこれは答えではありません。
同じ意味で

>(ⅳ)2t+1<1のとき→t<0のとき

これ以上は検討不要です。明らかに題意に合いません。

お礼

回答ありがとうございます！

＞場合分けしているのに答えがその範囲内であるかどうかを考慮していない。
ホントだ！　・・orz
そういえば、考慮するのを完全に忘れていました・・。

(3√5)/5は無いですね。

＞(ⅱ)(3t+1)/2≦1≦tのとき→1≦t≦1/3のとき
コレも、1≦t≦1/3は有り得ないので考えなくてもよさそうです。

＞(ⅳ)2t+1<1のとき→t<0のとき
ホントだ・・。確かにそうですね。

ということは、答えは4/3だけでいいのかな？
|2t^2-4t-6|は、0<t<3の範囲でマイナスになるので、
-2t^2+4t+6になると考えて計算しました^^;　当たってるかな