数学 指数関数の問題

質問

aを実数とする。
f(x)=-4^x-4^-x+2a(2^x+2^-x)-a^2
の-1≦x≦1における最大値M、最小値ｍとする。

（１）a=4のとき　M、mの値を求めよ

2^x+2^-xをｔとおいて、ｙ=-t^2+2at-a^2まではできたのですが、
ｘに-1、1を代入すると、どちらも5/2になってしまい、ｔの範囲をとることができず
つまずいてしまいました。

よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

数IIIの微分を習っているのであれば、t＝ 2^x+ 2^(-x)を微分して・・・
もあるにはありますが、もっと簡単なところで

2^xも 2^(-x)も「ともに正の数」ですよね。
ということは○○・○○平均の関係でとりうる値の最小値がわかりますね。
そのときの xの値が -1≦ x≦ 1の間にあることが確認できれば OKです。

補足

ご回答ありがとうございます！

相加相乗平均忘れてました(--)

数2Bまでですが一応、微分積分はやりました。
もしよければ、微分での解法も教えていただけないでしょうか？

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞数2Bまでですが一応、微分積分はやりました。
＞もしよければ、微分での解法も教えていただけないでしょうか？
正直、数IIIの微分をきっちり終わらせてからでないと混乱するかもしれないので、
微分した結果だけ示しておきますね。
{ 2^x+ 2^(-x) } '
＝ { 2^x- 2^(-x) }* log(2)　（logの底は自然対数：e）

この微分がゼロになるのは、
2^x＝ 2^(-x)　すなわち 2^(2x)＝ 4^x＝ 1のときで、
このとき最小値をとることになります。

増減表を書いて最大・最小を求めるという方針は同じです。
表だけ書くところだけでもやってみるのはいいと思います。
（-1≦ x＜ 0と 0＜ x≦ 1のそれぞれの区間で、2^xと 2^(-x)の大小関係を調べる）