数学の問題の解答の説明をお願いしますm(__)m

質問

すみません、数学の問題で回答を見ても理解できないので、以下の問題について
お尋ねいたします。

問　０°≦Ｘ≦１８０°で定義された
　　Ｙ＝－２sin二乗Ｘ＋２sinＸ＋１の最大値と最小値とそのときのＸの値を答えよ。

（参考書の解答）※少し省略して書いています
　　sinＸをtとおく
　　Ｙ＝－２t二乗＋２t＋１
　　　＝－２（ｔ－１／２）二乗＋３／２・・・(1)

　　(i)t＝１／２すなわち
　　　sinＸ＝１／２→３０゜、１５０°のとき最大値３／２

　　★★★ここから先の説明が分かりません★★★

　　(ii)sinＸ＝０または１のとき
　　　すなわち０°、９０°、１８０°のとき最小値１

　　疑問な点
　　最大値は、(1)が上向きに凸なので、頂点が最大だと分かるのですが、
　　最小値のときになんで、０とか１が出てくるのかわかりません。
　　基礎的な知識が抜けておりますので、申し訳ありませんが、よろしく
　　おねがいいたします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

★★★ここから先の説明が分かりません★★★

　　(ii)sinＸ＝０または１のとき
　　　すなわち０°、９０°、１８０°のとき最小値１

>　　疑問な点
>　　最大値は、(1)が上向きに凸なので、頂点が最大だと分かるのですが、
>　　最小値のときになんで、０とか１が出てくるのかわかりません。

０°≦Ｘ≦１８０°で定義された
　　Ｙ＝－２sin二乗Ｘ＋２sinＸ＋１　

ｔ＝sinＸとおくと
０°≦Ｘ≦１８０°より、０≦ｔ≦１　だから、この範囲の端の値（ｔ＝０、ｔ＝１）についても
ｙの値をも求めて、最小値をどちらかに決めます。
（どちらかが最小値になることは、グラフの形からも分かります。）

ｙ＝－２ｔ^2＋２ｔ＋１
ｔ＝０のとき、ｙ＝１、ｔ＝１のとき、ｙ＝－２×１＋２×１＋１＝１
ｔ＝０のときもｔ＝１のときもｙ＝１なので、この場合はどちらも最小値で、１と考えます。

ｔ＝sinＸ＝０より、ｘ＝０°、１８０°、ｔ＝sinＸ＝１　より、ｘ＝９０°

よって、sinＸ＝０または１のとき
　　　すなわちＸ＝０°、９０°、１８０°のとき最小値１

お礼

なるほど！よく分かりました。ありがとうございました。大変助かりました。

回答No.1

noname#145525

０°≦Ｘ≦１８０°なので、t=sinxの範囲は0≦t≦1です。この範囲で
Y=-2(t-1/2)^2+3/2
が最小になるｔはどこかといえば、t=0または1になるのです。

お礼

ありがとうございました。たしかに、t=sinＸと範囲から考えたらおっしゃる通りですね。