数I）関数の最小値の出し方教えて下さい。

質問

(1)(2)ともに、頂点の出し方までは分かるのですが、
(1)は、グラフの意味が分かりません。
グラフを見ると、(1)は、yの4の上に5が書いてあり、5の点を通ってます。
これは、y軸（直線x=0)で計算して5だから5なんでしょうか？

(2)は、答えのt=4で最小値2っていうのが分かりません。
どこから2が出てきたのか教えて下さい。
2というのがさっぱり分かりません。

また、こういう問題は、グラフを書いて答えを導くのなら、
・頂点の座標
・x軸との交点の座標
・y軸との交点の座標
この３つが必要なのでしょうか？

関数y=((x^2)-2x+5)^2-6((x^2)-2x+5)+10について。

（1）t=(x^2)-2x+5としたときの、tのとり得る値の範囲を求めよ。

平方完成で、
t=((x^2)-2x+1-1)+5
t=(x-1)^2+4
頂点は、（1,4)

答え　t>=4

(2)yの最小値と、そのxの値を求めよ。

y=((x^2)-2x+5)^2-6((x^2)-2x+5)+10
t=((x^2)-2x+1-1)+5より、
y=t^2-6t+10
平方完成で、
y=(t-3)^2+1
頂点は、(3,1)
(1)より、t>=4であるから、t=4で最小値2
このとき(1)より、x=1
以上まとめてx=1のとき、最小値2

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

y=t^2-6t+10は（３，１）を頂点とする放物線で、もしｔの範囲がｔ＝３を含むものであればこの頂点がｙの最小値になるのですが、この問題の場合はｔ＞＝４、つまり頂点を含まない範囲なのでこの範囲の中で最小値を探さねばなりません。二次関数の場合、頂点（軸）から離れるほどｙの値は大きくなるので、この問題では与えられた範囲のうち一番頂点に近いところ、つまりｔ＝４が最小値になります。あとはｔ＝４をy=t^2-6t+10に代入するだけです。
　二次関数であれば上記のように比較的単純ですが、もっと複雑な関数の場合は増減表を作って最大、最小を探す必要があります。その場合でも与えられた範囲の端（上記でいえばｔ＝４）は最大、最小の候補になります。

お礼

出来ました！
そういう事だったんですね(^_^;)
もう一度関数参考書１からやってみます！
ありがとうございました

回答No.1

gohtraw

（１）ｔ＝ｘ＾２－２ｘ＋５のグラフは下に凸の放物線なので、その頂点の座標が（１，４）ということは、ｔの値はｘ＝１のときに４となりそれよりも小さくなることはありません。ｘの範囲指定があったりすればグラフを書いてその範囲に頂点が含まれるかどうか確認する必要がありますが、この問題について言えば頂点の座標さえ判ればＯＫです。

（２）ｙ＝（ｔ－３）＾２＋１の頂点は（３，１）ですが、（１）よりｔ＞＝４であり、頂点はこの範囲に入っていません。従って頂点が最小値になるのではなく、与えられた範囲の中でｙがどういう値をとるかを調べる必要があります。結果としてｔ＝４の時ｙ＝２が最小値になるのですが、どこが最小値になるかを確認するためにグラフを書くと間違いも少なくなり、理解しやすくなります。

ついでですが、例えばー１＜＝ｔ＜＝６のときｙの最大値はいくらかという問題があったとすると、
ｙ＝－１のときｙ＝１７
ｙ＝６のときｙ＝１０
という具合に与えられた範囲の端でｙの値がどうなるか調べる必要があります。この場合もグラフは役に立ちます。グラフを書く習慣をつけるといいですよ。

お礼

ありがとうございます。
一応グラフは書いたのですが、(2)をグラフで書くと、
頂点は、（3,1)で、y=10を通る下に凸になるのはわかるのですが、
T>=4であるからT=4がなぜ最小値2なのかが分かりません。。。
2という数字はどこにもないから計算するのでしょうか